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Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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amatrix92
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[tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da amatrix92 » 09 gen 2011, 15:59

I lati di un triangolo sono $ a $, $ b $ e $ c $, e $ R $ è il raggio della sua circonferenza circoscritta.

Mostrare $ a^2+b^2+c^2=8R^2 $ vale se e solo se il triangolo è rettangolo.

Molto probabilemnte è conosciuta e sicuramente è motlo facile quindi lasciatela ai non troppo esperi!
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

ndp15
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da ndp15 » 10 gen 2011, 16:16

Rilancio con generalizzazione: mostrare che vale per ogni triangolo $ a^2+b^2+c^2+OS^2=9R^2 $ con $ OS$ segmento con estremi ortocentro e circocentro del triangolo.
Qua chiaramente la faccenda è un po' più complessa quindi lo si lascia anche a quelli più esperti.

Sonner
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da Sonner » 10 gen 2011, 20:12

ndp15 ha scritto:Rilancio con generalizzazione
Dimostrazione orribile e contosa (esiste una dimostrazione sintetica di questo fatto?), quindi sarò molto breve, se ne avete di migliori sono molto curioso!

Formula preliminare: con la notazione solita: $ R^2-OH^2=2AH \cdot HH_A $ (potenza di H rispetto alla circoscritta + il simmetrico di H rispetto a BC sta sulla circoscritta) da cui, con grande fantasia ($ AH=2Rcos\alpha $, $ HH_A=2Rcos\beta cos\gamma $), si ottiene $ OH^2=R^2-8R^2cos\alpha cos\beta cos\gamma $.

Dimostrazione: la tesi diventa (teorema del seno + preliminare + semplificazione): $ sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma=2+2cos\alpha cos\beta cos\gamma $. Ora $ \gamma=\pi-\alpha-\beta $, sostituisco, svolgo i contacci e viene. :roll:

ndp15
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da ndp15 » 10 gen 2011, 20:42

Sonner ha scritto: (esiste una dimostrazione sintetica di questo fatto?)
Vedi in questa pagina: http://www.lorenzoroi.net/geometria/LineaEulero.html (ovviamente contiene la soluzione quindi se volete lavorare sul problema non guardate!)
EDIT: noto ora che la trigonometria rientra lo stesso nella soluzione :roll:
Comunque i contacci da svolgere e che vengono, vengono veramente (nel senso che li hai fatti e non li vuoi ricopiare) oppure speri che vengano usando 37 formule trigonometriche e 21 identità algebriche? :P

Sonner
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da Sonner » 10 gen 2011, 21:13

Nono li ho fatti sul serio! :D

La "formula preliminare" l'ho spiegata, nell'ultima invece ho usato la somma di addizione di seno e coseno e si semplifica tutto (son 4-5 passaggi, ci sono contacci peggiori effettivamente), comunque al limite la scrivo domani :P intanto penso ad una soluzione un po' meno triste.

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Federiko
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da Federiko » 10 gen 2011, 22:59

Mah, io propongo in testo nascosto una soluzione un po' meno contosa (ma non sintetica ahimé)
Testo nascosto:
Vettori. Origine in $O$; è noto che $H=3G=A+B+C$ dove $G$ è il baricentro.
$$\sum_{cyc}a^2+|H|^2=\sum_{cyc}|B-C|^2+|A+B+C|^2 =3\sum_{cyc}|A|^2 +(2-2)\sum_{cyc} B\cdot C =3\cdot 3R^2$$
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da ardroc » 31 gen 2011, 20:18

amatrix92 ha scritto:I lati di un triangolo sono $ a $, $ b $ e $ c $, e $ R $ è il raggio della sua circonferenza circoscritta.

Mostrare $ a^2+b^2+c^2=8R^2 $ vale se e solo se il triangolo è rettangolo.
Come dimostri la seconda parte? cioe k se vale la relazione è rettangolo?

amatrix92
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da amatrix92 » 31 gen 2011, 21:09

Dovrebbe bastare ragionare per assurdo.

Ipotizza che sia un rettangolo pur non valendo la relazione. Wlog $ a $ è ipotenusa.

Se non vale la relazione avremo $ 8R^2 \neq a^2+b^2+c^2 $

Sapendo però che è rettangolo so che $ a=2R \implies a^2 = 4R^2 $ inoltre per Pitagora $ a^2=b^2+c^2 $.

Quindi andando a sostituire ottieni $ 8R^2 \neq 8R^2 $. E' quindi dimostrato che non può essere rettangolo senza che valga la relazione, alias: se vale la relazione $ \implies $ è rettangolo
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da ardroc » 31 gen 2011, 22:04

aspetta. pero se ipotizzo che sia rettangolo e non valga la relazione non sto ipotizzando il contrario di quello k voglio dimostrare, cioe k se vale la relazione è rettangolo..dovrei ipotizzare che valga la relazione e non sia rettangolo.. o forse mi sono preso una cantonata xk è un po tardi..

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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da amatrix92 » 01 feb 2011, 18:17

Ah scusa probabilemtne ti ho frainteso, in ogni caso la dimostrazione contraria è analoga e si basa su $ a=2R \iff $è un triangolo rettangolo
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da bĕlcōlŏn » 03 feb 2011, 20:29

Mmh, per fare chiarezza noi stiamo mostrando che "Il triangolo è rettangolo" $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=8R^2$. La prima
freccia è semplice. Se si volesse fare la freccia $a^2+b^2+c^2=8R^2 \Rightarrow$ "il triangolo è rettangolo" ragionando per assurdo, si dovrebbe partire dall'assunto che il triangolo non è rettangolo (negazione della tesi) e che vale $a^2+b^2+c^2=8R^2$ (ipotesi) e non il contrario, altrimenti si sta dimostrando per assurdo l'altra freccia :)
Comunque, ho tentato di trovare una soluzione più o meno sintetica, ma non ci sono riuscito del tutto (passa per un po' di trigonometria).
Tanto per rimanere in tema, lo faccio per assurdo. Considero un triangolo in cui valga $a^2+b^2+c^2=8R^2$ e che non sia rettangolo. Posso inscriverlo, quindi, in una circonferenza in maniera tale che questa venga divisa in due archi che non sono delle semicirconferenze da un suo lato AB. Ora fisso AB e siano M e N i punti medi dell'arco AB rispettivamente maggiore e minore. Voglio studiare come varia $AC^2+BC^2$ al variare di C sulla circonferenza. Senza perdere generalità, posso considerare C che si muove solo su una delle due semicirconferenze MN, tanto i punti sull'altra semicirconferenza sono ottenuti da una simmetria assiale con asse MN che lascia invariata $AC^2+BC^2$. Quindi, come varia questa somma?
Divido la semicirconferenza in due parti:
-da M a B:
Se chiamo $\angle ACB = \alpha$ ($\alpha$ è acuto!) e $\angle CBA=\beta$, ho che per il teorema dei seni $AC^2=\dfrac{AB^2}{\sin^2\alpha}\sin^2\beta$ e $BC^2=\dfrac{AB^2}{\sin^2\alpha}\sin^2(\alpha+\beta)$. Quindi $AC^2+BC^2$ varia come $\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta)$, essendo $\dfrac{AB^2}{\sin^2\alpha}$ costante.
Ora con prostaferesi e duplicazione (o come diavolo si chiamano xD) ottengo $\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta) = 1-\cos(2\beta+\alpha)\cos\alpha$. Ora l'angolo $\angle CBA$ cresce da $\dfrac{\pi - \alpha}{2}$ a $\pi-\alpha$, quindi $2\beta+\alpha$ cresce da $\pi$ a $2\pi - \alpha$. In questo intervallo il coseno è crescente quindi $1-\cos(2\beta+\alpha)\cos\alpha$ è decrescente.
-da N a B:
Chaimo $\angle CBA=\beta$. Come prima faccio tutti i conti e viene che $AC^2+BC^2$, questa volta, varia come $\sin^2\beta+\sin^2(\alpha-\beta)=1-\cos(\alpha-2\beta)\cos\alpha$. l'angolo $\angle CBA=\beta$ decresce da $\alpha$ a $\dfrac{\alpha}{2}$, quindi $(\alpha-2\beta)$ cresce da $-\alpha$ a 0 e in questo intervallo il cosenso è crescente (perché $\alpha$ è acuto), quindi $1-\cos(\alpha-2\beta)\cos\alpha$ è decrescente.
Quindi $f(C)=AC^2+BC^2$ è una funzione strettamente crescente se C si muove da M a N. Quindi vuol dire che è iniettiva.
Allora considero C' in modo tale che C'BA sia rettangolo. $f(C')=8R^2$, ma sappiamo, avendo negato la tesi, che esiste un C diverso da C' e dal suo simmetrico rispetto a MN tale che $f(C)=8R^2$, questo è contro l'iniettività di f.

Piccolo bonus: (preferibilmente da risolvere in maniera elementare :)) Fra tutti i triangoli inscritti in una circonferenza determinare quello per cui la somma dei quadrati dei lati è massima.
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da matty96 » 07 feb 2011, 14:47

Per quanto riguarda il problema iniziale,credo si possa risolvere cosi' anche se credo che cosi sia semplice.Confutate quel che dico.Non sono sicuro della mia soluzione
Allora abbiamo $a^2+b^2+c^2=2c^2=8R^2 $ che implica $c=2R$ per il teorema di pitagora.Da ciò deduciamo che l'ipotenusa corrrisponde al diametro,quindi il triangolo è inscrivibile in una semicirconferenza.Ma poichè in una semicirconferenza i triangoli inscivibili sono tutti rettangoli,anche in questo caso vale la tesi
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e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da Giuseppe R » 07 feb 2011, 14:53

matty96 ha scritto:Per quanto riguarda il problema iniziale,credo si possa risolvere cosi' anche se credo che cosi sia semplice.Confutate quel che dico.Non sono sicuro della mia soluzione
Allora abbiamo $a^2+b^2+c^2=2c^2=8R^2 $ che implica $c=2R$ per il teorema di pitagora.Da ciò deduciamo che l'ipotenusa corrrisponde al diametro,quindi il triangolo è inscrivibile in una semicirconferenza.Ma poichè in una semicirconferenza i triangoli inscivibili sono tutti rettangoli,anche in questo caso vale la tesi
In realtà $ a^2 + b^2 = c^2 + 2ab*cos\gamma $ (Carnot) mentre se poni $ a^2 + b^2 = c^2 $ applighi Pitagora che si può applicare solo se il triangolo è rettangolo. :wink:
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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da ardroc » 08 feb 2011, 22:58

bĕlcōlŏn ha scritto:Ora con prostaferesi e duplicazione (o come diavolo si chiamano xD) ottengo sin2β+sin2(α+β)=1−cos(2β+α)cosα.
Posso sapere come ti è venuta l'idea per trovare questa uguaglianza in mezzo ai seni al quadrato e prodotto di seni? grazie!bella soluzione comunque!

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Re: [tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]

Messaggio da bĕlcōlŏn » 09 feb 2011, 18:58

ardroc ha scritto:
bĕlcōlŏn ha scritto:Ora con prostaferesi e duplicazione (o come diavolo si chiamano xD) ottengo sin2β+sin2(α+β)=1−cos(2β+α)cosα.
Posso sapere come ti è venuta l'idea per trovare questa uguaglianza in mezzo ai seni al quadrato e prodotto di seni? grazie!bella soluzione comunque!
Mi serviva capire facilmente come variava $\sin^2\beta + \sin^2(\alpha+\beta)$. Siccome così è difficile da vedere, a meno di studiare direttamente la funzione, l'ho trasformata ,per far scomparire anche i quadrati che rompono (e dato che esistono delle formule "di trasformazione" trigonometriche, ho pensato fosse il caso di utilizzarle :) ). Allora trasformo i seni in coseni $1-\cos^2\beta + 1-\cos^2(\alpha+\beta)$. Per togliere i quadrati uso che $\cos^2x=\dfrac{\cos(2x)+1}{2}$. Quindi ho $2-\dfrac{\cos(2\beta)+1}{2}-\dfrac{\cos(2\alpha+2\beta)}{2}=1-\dfrac{\cos(2\beta)+\cos(2\alpha+2\beta)}{2}$. E qui prostaferesi così viene $\alpha$ da solo che è fisso. Quindi è tutto più bello :) Claro?
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