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allora, faccio due casi: quello in cui $ \alpha =3\gamma = \hat{A} $ e quello in cui $ \alpha = \hat{B} $.

Caso 1: $ \alpha =3\gamma = \hat{A} $. Chiamo $ D $ il punto medio di $ AC $. Prendo un punto $ P \in BC $ tale che $ \widehat{PAC} = \gamma $. Si nota subito che $ APC $ è isoscele con base $ AC $ e angoli alla base pari a $ \gamma $. Ne consegue che $ \widehat{APC} = \pi - 2\gamma $ e che quindi $ \widehat{APB} = 2\gamma $. Si ha quindi che $ BPA $ è isoscele con base $ AP $ e angoli alla base pari a $ 2\gamma $. Si ha che $ \hat{B} = \pi -4\gamma $ e che $ \widehat{APC} = \pi -2\gamma $. Dal teorema di Carnot consegue però che:
$ AP = AB\sqrt{2-\cos{(\pi -4\gamma )}} $
$ AC = AP\sqrt{2-\cos{(\pi -2\gamma )}} = AB\sqrt{2-\cos{(\pi -4\gamma )}}\sqrt{2-\cos{(\pi -2\gamma )}} = 4|\cos{(\gamma )} \cos{( 2\gamma )} |AB $ ( chiedo di fidarsi dei conti, che ho fatto fare al computer oltretutto...).
Traccio l'altezza $ BH $. Essendo ora $ BHD $ un triangolo isoscele rettangolo, si ha che $ AB \sin{(3\gamma )}=BH = HD $. Allo stesso tempo si ha che $ AH = AB \cos{(3 \gamma )} $ e che quindi $ AD = \frac{AC}{2} = 2|\cos{(\gamma )} \cos{( 2\gamma )} |AB = AH+HD = AB \sin{(3\gamma )}+AB \cos{(3 \gamma )} $. Bisogna quindi risolvere $ 2|\cos{(\gamma )} \cos{( 2\gamma )} | = \sin{(3\gamma )}+ \cos{(3 \gamma )} $ Cosa che mi sembra poco fattibile... In ogni caso mi sembra carino il procedimento fin qua, quindi lo posto lo stesso ! Per il lemma del "problema alla mia portata" si è quindi dimostrato che gli angoli andavano messi come diceva inzialmente sooner

Caso 2: $ \alpha = \hat{B} $ Si usano gli stessi nomi usati sopra per i punti: $ D $ è il punto medio di $ AC $ e $ H $ è il piede dell'altezza di $ B $ rispetto ad $ AC $. Si nota subito che $ \hat{A} = \pi -4\gamma $ e che quindi $ \widehat{ABD} = 4\gamma -\frac{\pi}{4} $. Come prima, si noti ora che $ BH = AB \sin{( \pi -4\gamma )} $ e che quindi $ BD = \sqrt{2}AB \sin{( \pi -4\gamma )} $. Allo stesso tempo, essendo $ BH = HD $ possiamo scrivere $ AD = AH+HD = AB[\sin{(\pi -4\gamma )} +\cos{(\pi -4\gamma )}] $. Per il teorema di Carnot di ha che $ AD^2 =AB^2 +BD^2 -2AB\cdot BD \cos{ (4\gamma -\frac{\pi}{4} )} $. Sostituendo e sviluppando si ha che
$ \sin{(\pi -4\gamma )}^2 +\cos{(\pi -4\gamma )}^2 +2\sin{(\pi -4\gamma )}\cos{(\pi -4\gamma )} =1+2\sin{(\pi -4\gamma )} -2\sqrt{2}\sin{(\pi -4\gamma )}\cos{ (4\gamma -\frac{\pi}{4} )} $. Ora semplifico e divido ambo i membri per $ 2\sin{(\pi -4\gamma )} $ e ottengo l'equazione $ \cos{ (\pi -4\gamma )} = 1-\sqrt{2}\cos{ (4\gamma -\frac{\pi}{4} )} $ che risolta da come soluzioni $ \gamma = \frac{5\pi}{8}, \gamma = \frac{\pi}{8} $, ma $ \gamma = \frac{5\pi}{8} $ va esclusa in quanto $ \frac{5\pi}{8} > \frac{\pi}{4} $ che non è possibile

MI sembra molto più verosimile del caso 1, ma aspetto conferme !