Made in Japan

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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<enigma>
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Made in Japan

Messaggio da <enigma> »

Si abbia un poligono ciclico: dimostrare che tra tutte le sue possibili triangolazioni la somma degli inraggi di tutti i triangoli rimane costante.
Bonus: si dimostri l'implicazione inversa.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Federiko
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Re: Made in Japan

Messaggio da Federiko »

Provo..
Lemma: $\displaystyle r=R(\sum_{cyc} \cos\alpha -1)$ (con la solita notazione per i triangoli)
$$a=c\cos\beta+b\cos\gamma \Rightarrow p=\sum_{cyc}\frac{b+c}{2}\cos\alpha=\sum_{cyc}(p-\frac{a}{2})\cos\alpha$$
Detto O il circocentro, l'area del triangolo AOB vale $\frac{1}{2}cR\cos\gamma$, quindi $\displaystyle \sum_{cyc}\frac{1}{2}cR\cos\gamma =S$ dove S è l'area di ABC. Allora,
$$p=\sum_{cyc}(p-\frac{a}{2})\cos\alpha=p\sum_{cyc} \cos\alpha -\frac{A}{R}$$
e dalla nota $r=\frac{A}{p}$ si ha la tesi.

Il circoraggio dei triangoli della triangolazione è sempre lo stesso, $R$. Sommando tutti gli inraggi ottengo $R(\sum\cos\theta -($num triangoli$))$ dove $\theta$ sono tutti gli angoli dei triangoli. Ora, per ogni angolo che insiste su una diagonale, ce n'è uno supplementare e i coseni si annullano.

La somma degli inraggi quindi dipende soltanto dal circoraggio, dalla somma dei coseni degli angoli insistenti sui lati del poligono e dal numero di triangoli della triangolazione, tutte cose costanti.
CUCCIOLO
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