Mosche in fuga in 3geomeDria

[karlosson_sul_tetto]

(Da kvant)
Su un tetraedo regolare corrono una mosca e due ragni. La mosca corre solo sugli spigoli, mentre i ragni su tutta la superfice. La mosca è due volte più veloce dei ragni.
A)Dimostrare che con ogni disposizione iniziale i ragni riusciranno a prendere la mosca
B)E se la mosca corre con velocita più grande del doppio della velocita dei ragni?
C)E se i ragni corrono solo sugli spigoli(la mosca corre sempre sugli spigoli)?
D)E se i ragni corrono anche dentro il tetraedo(la mosca corre sempre sugli spigoli)?

[Tibor Gallai]

Qualcuno riesce a rispondere al D senza fare molti calcoli?

[Gigi95]

Dimostro A C D contemporaneamente dimostrando che ai ragni basta correre sugli spigoli.
I ragni devono adottare la seguente strategia:
posizionarsi in modo che uno stia in un vertice (R1) e l'altro stia nel punto medio di uno spigolo (R2) che non ha il vertice dell'altro ragno come estremo.
distinguiamo i le possibili posizioni della mosca:
1 la mosca si trova sul vertice opposto al segmento sul cui punto medio giace R2;
2 la mosca si trova su uno degli altri vertici (gli estremi del segmento sopra citato);
3 la mosca si trova su uno dei due segmenti appartenenti al triangolo opposto al vertice su cui c'é R1 (ma non il segmento su cui c'é R2);
4 la mosca si trova sul segmento su cui giace R2;
5 la mosca si trova su uno dei due segmenti appartenenti al triangolo contenente entrambi i ragni (ma non il segmento su cui c'é R2);
6 la mosca si trova sul segmento che non é stato ancora citato.
nel primo caso si nota che R2 é la proiezione della mosca sul suo lato, poiché la mosca si muove su uno dei due lati inclinati rispetto a quello del ragno di 60°, la velocità della proiezione della mosca é $ \displaystyle \sin(60°) v = \frac v 2 $, poiché essa é la velocità di R2, ad esso é facile muoversi facendo in modo di essere la proiezione della mosca, se essa raggiungerà un estremo troverà R2, quindi se R1 si muove sullo spigolo per raggiungere la mosca, essa non potrà fuggire;
la dimostrazione dell'ultimo caso é analoga, R1 partirà verso la mosca ed essa fuggendo arriverà al vertice la cui proiezione é R1.
Nel secondo caso invece, R1 deve stare fermo mentre R2 deve muoversi verso la mosca che ha 2 vie di fuga:
la prima é il segmento con estremo R1, se fuggisse da quella parte, quando R2 avrà raggiunto il vertice la mosca sarà intrappolata tra i due ragni, (la dimostrazione del penultimo caso é analoga a questa);
la seconda via di fuga é lo spigolo avente come estremi la mosca e il vertice su cui era la mosca nel primo caso, seguendo questa via di fuga, R2 raggiungerà la proiezione della mosca e ci si ricondurrà al primo caso (la dimostrazione del terzo caso é analoga a questa).
Infine, se la mosca si trova sullo spigolo di R2, esso la inseguirà finche essa non giungerà su un vertice e a questo punto ci si ricollega al caso 2.
Fine .

P.s. se sono stato poco chiaro o ho commesso qualche errore ditemelo per favore.

[Tibor Gallai]

Dimostro A C D contemporaneamente dimostrando che ai ragni basta correre sugli spigoli.

Non hai dimostrato il D.
Sarei molto curioso di vedere una dimostrazione semplice per il D...

[Gigi95]

Ma se gli spigoli fanno parte del tetraedro ho già dimostrato, se invece vuoi che facciano almeno un passo nel tetraedro lo possono fare mentre si posizionano secondo la tattica.

[Tibor Gallai]

Ma se gli spigoli fanno parte del tetraedro ho già dimostrato, se invece vuoi che facciano almeno un passo nel tetraedro lo possono fare mentre si posizionano secondo la tattica.

Allora: la domanda è qual è l'inf della velocità a cui la mosca deve correre per sfuggire ai ragni. E' a priori ovvio che se corre a velocità doppia rispetto ai ragni muore, perché moriva già nel punto A. Ma potrebbe morire anche correndo a velocità superiore (a differenza di quel che accade nel punto B), perché adesso i ragni possono passare dentro il tetraedro.

[Gigi95]

Credevo che le domande "extra" fossero l'una indipendente dall'altra.

[Tibor Gallai]

Ok, comunque la strategia per il punto A (e C) funziona.
Ne propongo una che forse è più semplice.

Nota che un ragno può sempre scegliersi uno spigolo e raggiungere in tempo finito la proiezione della mosca su quello spigolo (indipendentemente da quanto è veloce la mosca).
I ragni si pongono allora su due spigoli non adiacenti e fanno il giochetto di cui sopra, finché si trovano a coincidere con la proiezione della mosca.
Se la mosca non è ancora stata catturata, può trovarsi su uno dei restanti 4 spigoli, che sono tutti equivalenti per simmetria.
Per catturarla, è sufficiente che i ragni si muovano contemporaneamente verso i due estremi dello spigolo su cui è la mosca. La mosca non riuscirà a raggiungere un vertice prima del relativo ragno, e resterà quindi intrappolata.

Per il punto B (e D), dimostra questo lemma:
supponi che un punto P si muova lungo una retta r a velocità costante, e un punto Q voglia catturare P muovendosi a velocità costante, e minore della velocità di P, su un piano in cui giace r. Allora Q può catturare P se e solo se lo cattura seguendo questa strategia: parte perpendicolarmente alla retta PQ, si muove rettilinearmente fino ad incontrare r, e (eventualmente) si ferma per aspettare P.