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Sia ABC un triangolo, e siano D, E, F i punti medi dei lati BC, CA, ed AB, rispettivamente.
Le rette AD, BE, CF intersecano nuovamente la circonferenza circoscritta
ad ABC in A1, B1, C1, rispettivamente. Le rette A1E ed A1F intersecano nuovamente
la circonferenza circoscritta ad ABC nei punti A′ ed A′′, rispettivamente. Sia A2
l’intersezione tra BA′ e CA′′. Definiamo similmente B2 e C2.
Dimostrare che le rette AA2, BB2, CC2 concorrono.

Mi serve aiuto per risolverlo con ceva trigonometrico. Come faccio ad esprimere i seni degli angoli BAA2 e CAA2?
grazie

Serve scrivere rapporti di seni come rapporti di aree o di lunghezze,
e sfruttare adeguatamente le opportunità offerte dalle uguaglianze di
angoli alla circonferenza:

sin(A2 A B) / sin(A2 A C) =

[A2 A B] / [A2 A C] * b/c

[A2 A B] / [A2 A C] * b/c = A2 B / A2 C * sin(A B A2) / sin(A C A2) =

sin(B C A'') / sin(C B A') * sin(A A1 A') / sin(A A1 A'') =

sin(B A1 A'') / sin(A A1 A'') * sin(A A1 A') / sin(C A1 A') * =

A A1 / A1 B * A1 C / A A1 =

A1 C / A1 B = sin(C B A1) / sin(B C A1) = sin(C A D) / sin(B A D)

Dunque (AA2,BB2,CC2) concorrono se e solo se concorrono (AD,BE,CF).

Perdonate la formattazione, sono troppo pigro

Saluti, Jack.

Ma AD, BE e CF non sono mediane? Le mediane concorrono.

infatti...

Qualcuno potrebbe rispiegarlo meglio? Non ho capito molte delle uguaglianze.

Uhm .... molte? Cmq, insomma, potreste fare un po' di sano lavoro per il senior, su...

EvaristeG ha scritto:Uhm .... molte? Cmq, insomma, potreste fare un po' di sano lavoro per il senior, su...

Qualcosa l'ho capito. Il punto è che parto domani per un corso d'orientamento alla SNS, quindi non è che mi sia rimasto molto tempo. È l'unico problema che non ho capito, gli altri li ho tutti già pronti in PDF...

EDIT: Ok, sono un deficiente. Se [A2 A B] indica l'area del triangolo, ho capito tutto. Scusate.

sin(A2 A B) / sin(A2 A C) =
[A2 A B] / [A2 A C] * b/c =
A2 B / A2 C * sin(A B A2) / sin(A C A2) =

Segue dal fatto che l'area di un triangolo è data da metà del prodotto
tra le lunghezze di due lati e del seno dell'angolo compreso, dunque
un rapporto di seni è un rapporto di aree per un rapporto di lunghezze.

A2 B / A2 C * sin(A B A2) / sin(A C A2) =
sin(B C A'') / sin(C B A') * sin(A A1 A') / sin(A A1 A'') =

Applicando il teorema del seno al triangolo A2BC e uguagliando
angoli che insistono sugli stessi archi.

sin(B A1 A'') / sin(A A1 A'') * sin(A A1 A') / sin(C A1 A') * =
A A1 / A1 B * A1 C / A A1 =

Qui si sfrutta il fatto che [A A1 F]=[F A1 B] e [C A1 E]=[A A1 E]
(medesima base, medesima altezza), in termini di seni.

A1 C / A1 B = sin(C B A1) / sin(B C A1) = sin(C A D) / sin(B A D)

Qui si usa il teorema del seno sul triangolo A1 B C e nuovamente
l'uguaglianza di angoli che insistono sugli stessi archi (BA1 e CA1).

Meglio?
Ri-saluti, Jack.

Grazie mille, ma avevo capito (infatti avevo editato il post). Non avevo collegato che con le parentesi quadre intendessi l'area del triangolo, e così non ci capivo nulla. Il tempo di mettermici con carta e penna e ho capito che in quel modo intendevi l'area, e poi non era difficile. Grazie comunque per la pazienza nel ri-spiegarlo!

grazie mille! tutto chiaro anche per me! non avevo pensato a scrivere rapporti di seni quanto a scrivere un seno alla volta!