area di un triangolo

[io.gina93]

ABC è un triangolo di area 2000. P, Q, e R sono i punti medi rispettivamente dei lati BC, CA, e AB.
U, V, e W sono i punti medi rispettivamente dei segmenti QR, RP, PQ.
Esiste un triangolo le cui lunghezze dei cui lati sono espresse dalle lunghezze dei segmenti AU, BV, e CW.
quanto vale l'area di questo triangolo??
(matte992 dice 125)

[Francutio]

Nel caso facile (triangolo equilatero) viene 125 come dice matte992, quindi tendo a dargli ragione (dimostrazione impeccabile direi xD)

[io.gina2]

ti ho scritto poi da qualche parte... (stranamente!!)

[Francutio]

Interessante come non sia riuscito a comprendere il testo la prima volta

Cancella il 125, con il triangolo equilatero viene (dovrebbe xD) 375, quindi 375

[minima.distanza]

Ma perchè a me viene diverso da quello di tutti voi ? sbaglio io ?

allora, l'area del triangolo (equilatero) è 2000.

pongo il lato uguale a x e si ha l'equazione: $ 2000 = \frac{(\sqrt{3})}{2} x*x *(1/2) $ e quindi $ 2000 = \frac{(\sqrt{3})}{4} *x^2 $ e si ottiene che
$ x= \frac{\sqrt{8000}}{\sqrt[4]{3}} $ ( l'area di un triangolo equilatero di lato x è pari a $ \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 $)... e fin qui mi smebra tutto giusto.
Ora, per ottenere $ AU $ devo quindi moltiplicare per
$ \frac {\sqrt{3}}{4} $ quel robone là ( la $ x $ di prima)e ottengo che il lato del triangolo di cui stiamo cercando l'area è uguale a $ \frac{\sqrt{8000}}{4\sqrt{3}} $ da cui ottengo, per la formula sopra enunciata per il calcolo dell'area del triangolo equilatero, che l'aera tanto cercata è uguale a
$ Area= (\frac{\sqrt{8000}}{4\sqrt{3}})^2\frac{\sqrt{3}}{4} $che è uguale a:
$ \frac{8000}{16\sqrt{3}} $

$ = \frac{150}{\sqrt{3}} $

... dove sbaglio ?

Finalmente so usare il LaTeX !

[Mike]

anche a me viene 375.
Puoi facilmente verificarlo prendendo un triangolo rettangolo isoscele e usando il metodo del tagliare e incollare figure.

[ndp15]

Ok allora esplicitiamo il bonus: dopo aver trovato il valore dell'area in un caso particolare, mostrare che tale valore rimane costante per tutte le configurazioni accettabili (che sono tutte le possibili?)

[Claudio.]

L'area del triangolo che ha per lati le mediane di un triangolo con lati a,b,c è:

$ $\frac{3\sqrt{- a^4+2a^2(b^2+c^2)-b^2+2b^2c^2-c^4 }}{16} $

E dall'ipotesi dell'area con Erone abbiamo che:

$ - a^4+2a^2(b^2+c^2)-b^2+2b^2c^2-c^4=8000^2 $


Se non ho fatto errori da quì si dovrebbe completare facilmente....ma c'è l'inghilterra prima dei conti

EDIT: avevo scritto male.

[Mike]

Propongo una soluzione con meno conti.
Purtroppo non posso allegare un disegno.
Dato un qualsiasi triangolo ABC, osserviamo che prendendone 6 possiamo costruire un esagono avente i lati opposti rispettivamente uguali a quelli di ABC. Collegando tre vertici dell'esagono otteniamo un triangolo i cui lati sono il doppio delle mediane del triangolo d'inizio. Semplici considerazioni di simmetria ci dicono che questo nuovo triangolo è metà dell'esagono, che è a sua volta 6 volte il triangolo iniziale, e pertanto è il triplo di ABC. Osserviamo facilmente che i tre segmenti che formeranno i lati del futuro triangolo sono la metà delle mediane di ABC: ergo sono 1/4 di quelle del triangolo grande. I due triangoli (piccolo e grande) sono simili, e visto il rapporto fra i lati quello fra le aree è 1/16. L'area del triangolino è pertanto l'area di ABC moltiplicato per 3/16, nel nostro caso 375.

[minima.distanza]

ehm.... Ho fatto fare i miei calcoli al computer, e apparte l'ultimo passaggio mi esce anche a me 375, scusate l'intralcio di quel mega post....