L'asse di I I_A

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kn
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L'asse di I I_A

Messaggio da kn » 23 mag 2010, 18:53

Un interessante fatto (che ricorda un problema del WC 2008 :P ):
Sia ABC un triangolo, I l'incentro, $ ~I_A $ l'excentro relativo ad A e O il circocentro. Detta X l'intersezione dell'asse di BC con la bisettrice interna da A e Y il simmetrico di A rispetto ad O, mostrare che XY è l'asse di $ ~II_A $.
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 23 mag 2010, 23:48

...interessante fatto che ricorda anche un problema del tst 2010 :P

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karl
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Messaggio da karl » 25 mag 2010, 10:23

Immagine
Chiaramente X è il punto medio dell'arco BC non contenente A e quindi è XB=XC
Osservo che l'angolo AXY è retto in quanto insiste su mezza circonferenza e
ciò assicura che XY è perpendicolare a $ $ II_A$ $.Per completare la
dimostrazione basterà far vedere che è $ $ XI=XI_A$ $
Ora si ha:
$ $IBX=XBC+CBI=XAC+CBI=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta }{2}$ $
$ $BIX=IAB+ABI=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta }{2}$ $
Il triangolo XBI è dunque isoscele su BI e pertanto:
(1) $ $XI=XB \text{ (=XC) } $ $
D'altra parte $ $ BI,BI_A$ $,essendo bisettrici di angoli adiacenti,risultano
perpendicolari e analogamente $ $ CI,CI_A$ $.Ne deriva che i punti
$ $ B,I,C,I_A$ $ appartengono ad una stessa circonferenza che per la (1) ha centro in X.
Ma allora è pure $ $ XI=XI_A$ $

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