Parallelogrammo e "proiezioni" sui lati, allineame

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dario2994
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Parallelogrammo e "proiezioni" sui lati, allineame

Messaggio da dario2994 » 15 mag 2010, 15:46

ABCD è un parallelogrammo e P un punto. Traccio le parallele ai lati del parallelogrammo ABCD e queste intersecano AB in X ed AD in Y. Chiamo Z l'intersezione tra BY e DX. Mostrare che Z,P,C sono allineati.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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amatrix92
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Messaggio da amatrix92 » 15 mag 2010, 16:07

O non ho capito il senso del problema o hai lasciato un pezzo... nel mio disegno non vengono allineati.. P è un punto qualsiasi? interno esterno? come?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Euler
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Messaggio da Euler » 15 mag 2010, 16:27

Chiamando a=PYB e b=ADX, so che $ PZY=\pi-a-YPZ=\pi-a-(\pi-DCZ)=DCZ-a=\pi-b-CZD-a $. Invece $ DZY=\pi-ZDA-AYZ=\pi-(\pi-a-b)=a+b $. Allora $ CZD+DZY+YZP=\pi $
Q.E.D. :)
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Euler
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Messaggio da Euler » 15 mag 2010, 16:36

Questa dimostrazione è per P esterno, con P interno cambiano le lettere.
amatrix92 ha scritto:O non ho capito il senso del problema o hai lasciato un pezzo... nel mio disegno non vengono allineati.. P è un punto qualsiasi? interno esterno? come?
Sì, ho notato anch'io che P, se esterno, deve essere dalla stessa parte di B rispetto ad AC
cogito ergo demonstro

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karl
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Messaggio da karl » 16 mag 2010, 13:44

Immagine
Un'altra dimostrazione.
Sia C' (che sul momento considero distinto da C ) l'intersezione di ZP con DC.

Applico Menelao al triangolo DXR ,tagliato dalla trasversale ZC':
(1) $ $\frac{C'R}{C'D}\cdot\frac{DZ}{ZX}\cdot\frac{PX}{PR}=1$ $

Applico Menelao al triangolo DXA ,tagliato dalla trasversale BY:
(2) $ $\frac{BX}{BA}\cdot\frac{AY}{YD}\cdot\frac{DZ}{DX}=1$ $

Confrontando (1) e (2) si trova che :
$ $\frac{C'R}{C'D}=\frac{BX}{BA}=\frac{CR}{CD}$ $
Pertanto i punti C e C' dividono ,entrambi esternamente , il segmento RD nel medesimo rapporto
e dunque essi coincidono.La medesima dimostrazione ,con gli stessi identici
calcoli,si consegue se P è esterno al parallelogramma.
Ultima modifica di karl il 16 mag 2010, 17:48, modificato 1 volta in totale.

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 16 mag 2010, 13:53

Per chi volesse provare a dimostrarlo in un modo diverso... secondo me è istruttivo provarci usando desargues e poi Ceva... viene figo ;)
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