circonferenze che si intersercano

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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danielf
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circonferenze che si intersercano

Messaggio da danielf » 14 mag 2010, 14:26

Siano C1,C2 due circonferenze di raggio R, passanti ognuna per il centro dell'altra.
Calcolare l'area della regione di piano interna ad entrambe.

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io.gina93
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Messaggio da io.gina93 » 14 mag 2010, 15:14

l'intersezione fra i 2 cerchi è composta da 2 segmenti parabolici (non ricordo se si chiamano cosi o no cmq)che hanno come base l'altezza di un triangolo equilatero di lato r moltiplicata per 2 e come altezza r/2.
Un segmento parabolico vale 2/3 del rettanfolo che lo inscrive..
Quindi l'intersezione vale (radice3)/2r * r/2 * 2/3 * 2 = (2radice3)/3 r^2

Euler
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Messaggio da Euler » 14 mag 2010, 16:41

A me invece risulta $ \frac{R^2(4\pi-3\sqrt{3})}{6} $
Il problema non era neanche difficile, non capisco dove vai a pescare i segmenti parabolici...
cogito ergo demonstro

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io.gina93
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Messaggio da io.gina93 » 14 mag 2010, 17:05

bhe pensavo
http://www.robertobigoni.it/Matematica/ ... fig002.gif
che AB in questo caso fosse il segmento che collegasse le intersezioni delle circonferenze, e che cosi si formassero 2 segmenti parabolici uguali..... :roll:

invece io non capisco come tu abbia fatto a trovare quella soluzione..

Euler
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Messaggio da Euler » 14 mag 2010, 17:21

Guardando il disegno allegato, AO$ _{1} $^B= AO$ _{2} $^B=120°.L'area del segmento circolare AO$ _{1} $B è $ \frac{R^2\pi}{3}-\frac{R^2\sqrt3}{4} $, che moltiplicato per due da questo risutato
Allegati
circ.JPG
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Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 14 mag 2010, 17:22

come fanno ad essere dei segmenti parabolici se sono delle circonferenze :shock:

comunque si risolve sfruttando la simmetria della figura rispetto al segmento che congiunge i due punti di intersezione (senza disegno è un po' complicato da spiegare ma spero si capisca): calcoli cioè la metà dell'area richiesta, che è pari all'area di un settore circolare (una "fetta") meno il triangolo contenuto nel settore (scusatemi se sono poco formale)
l'area del settore è

$ \frac {r^2\pi \alpha}{360} $

dove alfa è l'angolo al centro del settore.
notiamo anche che l'altezza del triangolo cercato è la metà del raggio, poichè l'altezza è la metà della congiungente i centri. quindi se consideriamo i due triangoli in cui il triangolo grande viene diviso dall'altezza abbiamo che l'ipotenusa è doppia del cateto (per la proprietà appena trovata), quindi l'angolo è di 60°, e l'angolo del settore è 120°.
calcoli ora l'area del triangolo e l'area del settore, sottrai e trovi il risultato di euler.

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io.gina93
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Messaggio da io.gina93 » 14 mag 2010, 21:57

ok, grazie per i chiarimenti!! ^^
cmq mi dispiace per l'idea dei segmenti parabolici :oops: anche perchè il mio prof di m..atematica molto b..rillante non ce l'ha spiegato, così abbiamo dovuto leggerlo noi, e sinceramente avevo capito che valesse per qualsiasi curva.. :oops: :oops:

cmq devo ancora imparare come calcolare l'area del segmento circolare...
grazie per la lezione anticipata!! :D

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 14 mag 2010, 22:17

giusto per completezza, l'area del settore circolare altro non è che una proporzione

Acerchio : 360 = Asettore : angolosettore

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io.gina93
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Messaggio da io.gina93 » 14 mag 2010, 22:26

ah sì questa formula l'avevo letta sul mio libro (mi pare che il mio prof non l'abbia spiegato o l'abbia saltato perchè non aveva voglia di spiegarcelo come il segmento parabolico)!!
quindi potevo risolverlo bene il problema!! xD
bhe non facendo esercizi sui cerchi non mi sarebbe mai venuto in mente questa formula.. xD

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