), una dimostrazione (la prima) che ho fatto, un problema di EvaristeG (che devo assolutamente ringraziare per aver messo a nostra disposizione dei problemi di geometria commentati). Precisamente è il primo della sua guida sugli angoli:Sia ABC un triangolo e sia H il suo ortocentro. Dimostrare che:
(a) A è l'ortocentro di BCH, B è l'ortocentro di ACH, C è l'ortocentro di ABH (cioè che i 4 punti formano un sistema ortocentrico);
(b) L'incentro e gli excentri di ABC formano un sistema ortocentrico.
(a) Chiamiamo D, E, F, i piedi delle altezze rispettivamente su AB, BC e AC; prendiamo in considerazione il triangolo ABH: l'altezza uscente da H è HD, in quanto per ipotesi l'angolo ADC è retto (CD è altezza di ABC); l'altezza uscente da B è BE, poiché incontra il prolungamento di AH formando un angolo retto (per ipotesi), e infine l'altezza uscente da A è AF poiché incontra il prolungamento di BH formando, sempre per ipotesi, un angolo retto. Poiché le tre altezze concorrono in C, quest'ultimo è ortocentro di AHB; con analoghe considerazioni dimostriamo che A è l'ortocentro di BCH e che B è l'ortocentro di ACH, pertanto la tesi è dimostrata.
(b) Chiamiamo I l'incentro di ABC e D, E, F, gli excentri di ABC opposti rispettivamente ad A, B e C; α, β e γ sono gli angoli in A, B e C. In virtù di quanto dimostrato precedentemente, dimostrare che I è l'ortocentro di DEF dimostra la tesi.
Gli excentri sono definiti come i centri delle tre circonferenze exinscritte, cioè tangenti a un lato e al prolungamento degli altri due. Essi dovranno necessariamente trovarsi ai punti d'incontro tra la bisettrice di un angolo interno e e quelle dei due altri angoli esterni: questo perché il centro di una circonferenza tangente a due segmenti/rette dev'essere equidistante da essi, e le bisettrici, per definizione, sono equidistanti dai lati che formano l'angolo. I lati di DEF saranno pertanto appartenenti alle bisettrici degli angoli esterni, e DEF risulterà tangente ad ABC nei tre vertici di quest'ultimo.
Dimostrare che I è ortocentro di DEF equivale a dimostrare che AD, BE e CF ne sono le altezze. Prendendo in considerazione AD, essa è altezza se e solo se l'angolo DAF è retto: esso può essere calcolato come la somma degli angoli DAB e BAF. L'angolo DAB vale, per ipotesi, α/2, mentre BAF è la metà dell'angolo esterno nel vertice A. Per il teorema dell'angolo esterno abbiamo quindi che l'angolo BAF è uguale a (β+γ)/2 ; sommando gli angoli DAB e BAF otteniamo (α+β+γ)/2, cioè 90°, quindi DAF è retto e AD è altezza di DEF. Lo stesso ragionamento può essere ripetuto con BE e CF, e poiché essi concorrono in I, quest'ultimo è l'ortocentro di DEF, pertanto D, E, F, I, formano un sistema ortocentrico.
Vorrei chiedervi il vostro giudizio su questa dimostrazione, eventuali suggerimenti: temo di aver speso troppe parole, è così?
