Pagina 1 di 1

144 punti sulla circonferenza

Inviato: 13 mag 2010, 17:14
da Euler
Finale 2010:
abbiamo 144 punti che formano archi congruenti sulla circonferenza, trovare tutti i possibili triangoli di area diversa con i verici su questi punti :roll:

ci ha dato parecchi problemi...poi in treno abbiamo scoperto che non era neanche troppo difficile

Inviato: 13 mag 2010, 23:09
da io.gina93
secondo i miei calcoli 5112!! =D
(spero sia giusta!!) xD
cmq ho provato a trovare i triangoli di area diversa in un poligono regolare e ho capito che sono (n-2)/2*[(n-2)/2]+1 se n è pari.
Se n è dispari la formula è (n-2)/2+(n-3)/2 * ((n-2)/2+1).
NOTA BENE: quando si ha il quoziente con la virgola si prende il numero per difetto cioè se n=5
la formula è (5-2)/2+(n-3)/2*((5-3)/2+1) =2+1*2

spiegazione:
con un triangolo di base un arco/un lato si hanno n-2 triangoli. Se n-2 è pari bisogna togliere metà triangoli perchè sono simmetrici agli altri e quindi hanno area uguale. Se n-2 è dispari bisogna toglierne la metà (parte intera.. Cioè se n-2=7 la metà è 3.5, io tolgo solo 3 triangoli e ne tengo 4).

Con i triangoli la cui base ha per estremi 2 archi/lati si ha n-3 triangoli e poi come ho spiegato prima bisogna toglierne circa la meta perchè simmetrici... (ricordatevi di prendere solo numeri interi...)

Alla fine noto che i triangoli sono (n-2)/2, (n-3)/2........ (n-(n-1))/2 e noto di avere una doppia somma di numeri :
(n-2)/2; (n-3)/2;(n-4)/2; (n-5)/2; (n-6)/2; (n-7)/2....(n-(n-2));(n-(n-1)).


avrei una doppia serie di numeri che vanno da 1 a (n-2)/2 se n=pari e per questo uso la formula di gauss: (n-2)/2*((n-2)/2+1):2 e poi moltiplico per 2 perchè la serie è doppia..
Se n=dispari ho una doppia serie di numeri che va da 1 a (n-3)/2, uso gauss e aggiungo (n-2)/2


ho una doppia serie di numeri perchè se n-x=pari non ho problemi con (n-x)/2. Se n-x=dispari allora (n-x)/2=(n-(x-1))/2 perchè tengo in considerazione il risultato per difetto.

Per esempio in un decagono avrei questa serie:
4,4,3,3,2,2,1,1

invece in un poligono da 11 lati
5,4,4,3,3,2,2,1,1

p.s. Ieri ho scritto male la serie di numeri!! XD quindi chi l'avesse letto se lo dimentichi!!
Cmq secondo me la soluzione è cosi.. Adesso aspetto qualcuno che lo neghi(probabile... )! XD

Inviato: 23 mag 2010, 14:39
da LukasEta
Possibile 1728? Il problema se non sbaglio sarebbe uguale a "quante sono le terne diverse di numeri tali che la somma dei 3 numeri sia 141?"

Infatti quando tracciamo una corda, possiamo dire che tra il primo punto e il secondo punto ci sono X punti (girando in senso orario), e lo stesso tra il secondo punto e il terzo e tra il terzo e il primo. La somma dei punti che rimangono "in mezzo" è sempre uguale a 141 (144 meno i 3 punti con cui ho formato il triangolo), e posso quindi scrivere ogni triangolo come una terna di numeri. Ad es: 0-0-141 sarebbe il triangolo formato dall'unione di 3 punti consecutivi. (0 punti tra il primo e il secondo, 0 tra il secondo e il terzo, 141 tra il terzo e il primo)

Ogni terna diversa, darà quindi un triangolo di area diversa.

Il problema sta ora nel contare quante sono queste terne, che equivale a trovare quanti sono i triangoli di area diversa.

0-0-141,0-1-140,0-2-139........0-70-71 ----> 71 triangoli (le terne che contengono 0)
1-1-139,1-2-138..........1-70-70 -----> 70 triangoli (le terne che NON contengono 0)
2-2-137,2-3-136..........----->68 triangoli (le terne che NON contengono 0 e 1)


....

Ci accorgiamo insomma che è la somma dei primi 71 numeri, meno la somma dei numeri divisibili per 3 fino a 71 (infatti 69,66,63 ect non appaiono).

Quindi (71*72/2)-3(23*24/2)= 1728

Ditemi se ho sbagliato ( è possibile , l'ho fatto prima di addormentarmi :D)

Inviato: 23 mag 2010, 17:06
da sasha™
Boh, provo pure io. Fisso il primo vertice.

Se il secondo è adiacente, ho $ (144-2)/2 = 71 $ possibili triangoli.
Se il dista uno, ho $ (144-3)/2 + 1/2 - 1 = 70 $ possibili triangoli.
Se dista due, $ (144-4)/2 - 2 = 68 $ possibili triangoli, e così via, fino ad arrivare al triangolo equilatero, i cui punti dovrebbero distare 47.

La formula, con n = punti fra i due che delimitano la base, è $ (142-n)/2 - n $, $ + 1/2 $ se $ n $ è dispari.

Il risultato è $ \sum_{n=0}^{47} {(142-3n)/2 +1/4} = \sum_{n=0}^{47} {3n/2 +3/4} = 3(47*24)/2 + 36 = 1728 $

In conclusione, quanto scritto da LukasEta dovrebbe essere giusto, no?

Inviato: 23 mag 2010, 17:11
da Euler
Sì, è questo il risultato esatto :)

Inviato: 23 mag 2010, 23:50
da LukasEta
Euler ha scritto:Sì, è questo il risultato esatto :)
Evvai :lol: :lol:

Primo problema risolto correttamente su questo forum xD

Inviato: 24 mag 2010, 16:04
da Thebear
Cosaaaaaa? No, ma allora è una congiura!!!!! Al Lingotto ce ne hanno dato sbagliato uno (per fortuna di pochi punti), alla simulazione di Campigotto di maggio un altro e adesso vengo a sapere che è successo anche a Cesenatico!!! :evil:

Alla gara ho dato come risposta 1728 e me l'hanno data sbagliata, mentre ero sicuro della soluzione (peraltro bella a mio giudizio) che avevo trovato...

Se non avessimo vinto lo stesso quella finale dichiarerei guerra alla sede dell'UMI... :twisted:

Inviato: 24 mag 2010, 16:39
da Thebear
Già che ci sono scrivo la mia soluzione.

Fissato il primo vertice, costruire un triangolo equivale a fare tre salti, l'ultimo dei quali deve farmi tornare al punto di partenza.
In pratica devo trovare le soluzioni di $ a+b+c=144 $ escludendo le cicliche.
Il numero di tutte le terne ordinate è $ \binom{143}{2}=10153 $, infatti fare tre salti equivale a sistemare due "separatori" nella fila dei 144 lati e i posti disponibili sono 143.
Tuttavia in questo conteggio ho preso 6 volte tutte le terne che hanno i tre lati diversi (che chiamo $ A_1 $) e 3 volte tutte le terne che hanno due lati uguali e uno diverso (che chiamo $ A_2 $).
In particolare osservo che $ A_2 $ equivale al numero di soluzioni intere positive dell'equazione $ 2x+y=144 $ ad esclusione del caso in cui $ x=y $. Come si osserva facilmente dunque $ A_2=70 $.
Dovrà dunque valere: $ 6 \cdot A_1 + 3 \cdot A_2 + 1 = 10153 $ e sostituendo il valore ottenuto per $ A_2 $ ottengo $ A_1=1657 $.
Il numero dei triangoli dunque, essendo uguale a $ A_1+A_2+1 $ sarà 1728.