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Cesenatico 1996, Luogo di punti.

Inviato: 12 apr 2010, 20:58
da Gogo Livorno
Data una circonferenza C ed un punto A esterno ad essa, per ogni punto P sulla circonferenza si costruisca il quadrato APQR in senso antiorario. Si determini il luogo geometrico descritto dal punto Q al variare di P sulla circonferenza C.

Spero non sia stato postato, io non capisco molto alcuni discorsi della soluzione ufficiale, intanto vorrei vedere come lo risolvete, nel caso poi discutiamo!

Inviato: 15 apr 2010, 11:16
da karl
Immagine
Su OA costruiamo il quadrato AOBC in modo che il contorno sia
percorso in senso antiorario a partire da A.Sia P un punto generico
della circonferenza data e su AP costruiamo il quadrato APQR come da
traccia.Proiettiamo Q in S su OB e siano poi M,N,L le proiezioni di P
su OB,OA ed SQ rispettivamente .Per semplicità di scrittura poniamo:
PM=u,PN=v,OA=l
Evidentemente è:
(1) $ \displaystyle u^2+v^2=r^2 $
essendo r il raggio della circonferenza C data.
Osserviamo ora che i triangoli rettangoli APN e PLQ sono congruenti
per avere congruenti le ipotenuse AP e QP e gli angoli NAP ed LPQ
in quanto complementari dello stesso angolo NPA.
Ne segue che :
LQ= PN=v ; MS=PL=NA=l-u
Inoltre :
$ \displaystyle SQ^2=(SL+LQ)^2=(PM+PN)^2=(u+v)^2 $
$ \displaystyle SB^2=(OB-(OM+MS))^2=(l-(v+l-u))^2=(u-v)^2 $
Dal triangolo rettangolo BSQ si trae allora che:
$ \displaystyle BQ=\sqrt{SB^2+SQ^2}=\sqrt{(u-v)^2+(u+v)^2}=\sqrt{2(u^2+v^2)} $
Per la (1) si ha infine :
$ \displaystyle BQ=\sqrt{2r^2}=r\sqrt{2} $
Si conclude quindi che il luogo richiesto è la circonferenza di centro
il punto B ( che è fisso) e di raggio $ \displaystyle r\sqrt{2} $

Inviato: 15 apr 2010, 12:59
da Gogo Livorno
Io l'avevo pensata molto più semplice:

Q infatti può essere visto ogni volta come il trasformato di P rispetto a una similitudine, e precisamente della composizione di un'omotetia di k=radice di 2 con una rotazione di centro A e angolo 45°.

Dato dunque che P varia percorrendo tutta la circonferenza, in pratica possiamo vedere il luogo di Q come la trasformata di una circonferenza mediante la suddetta similitudine: dato che un similitudine manda circonferenze in circonferenze, evinciamo che il luogo che cercavamo è una circonferenza di raggio r(radice di 2).

Se volessimo anche il centro, basterebbe applicare la stessa similitudine al centro della circonferenza di partenza.

Dove sta l'errore? :roll:

Inviato: 15 apr 2010, 13:28
da karl
Non mi pare che ci siano errori.Una rotazione di AO di 45° attorno ad A porta O in un punto O' della diagonale AB tale che sia AO'= AO =l .La successiva omotetia "allunga" AO' fino ad AO'*sqrt(2)=AO*sqrt(2)=AB e quindi il punto O viene portato in B.
P.S. bella soluzione ma è quella ufficiale ?

Inviato: 15 apr 2010, 16:02
da Gogo Livorno
No, e quella ufficiale mi sembra molto più cervellotica, ecco perchè dubitavo fortemente della mia.

Ti riporto quella ufficiale:

La trasformazione che porta dal punto P al punto Q può essere vista come la composizione di due trasformazioni: una rotazione antioraria di 45° intorno al puno A ed un'omotetia con coefficiente sqrt2. La stessa trasformazione porta il centro della circonferenza O in un punto che chiamiamo B. I triangoli AOP e ABQ sono simili; infatti si ha AB/AO = AQ/AP = sqrt2 e OAP°=BAQ°, poichè le rette per AQ e per AB si ottengono rispettivamente dalle rette per AP e per AO con una rotazione di 45° intorno ad A. Pertanto si ha QB = sqrt2 * OP e dunque il punto Q giace necessariamente sulla circonferenza di centro B e raggio sqrt2 * r, dove r è il raggio della circonferenza data. Per vedere che la condizione è anche sufficiente, si prenda un punto qualsiasi Q' sulla circonferenza di centro B e raggio sqrt2 * r e si applichi la trasformazione inversa alla precedente, ossia un'omotetia di coefficiente 1/sqrt2 seguita da una rotazione in senso orario di 45°. Il punto Q' verrà trasformato in un punto P'; in modo del tutto analogo al precedente si vede che i tirangoli AOP' e ABQ' sono simili, per cui OP' = 1/sqrt2 * sqrt2 * r = r e dunque Q' è il trasformato di un punto P' che giace sulla circonferenza data.

Mi sembrava molto strano che a partire dalla stessa idea della similitudine (che non ho copiato da lì, mi è venuta autonomamente) loro non si siano resi conto della mia strada, ecco perchè pensavo ci fosse un errore spartano nella mia dimostrazione...

Inviato: 17 apr 2010, 23:21
da ghilu
A me pare la stessa, solo che in quella ufficiale dimostrano che quella similitudine trasforma la circonferenza in una circonferenza. Cosa che, ovviamente, fai bene a reputare nota/immediata.

Inviato: 18 apr 2010, 11:05
da EvaristeG
Beh fate conto che era il 96 ... cioè, nel 2003 Ceva e Menelao erano il non plus ultra della geometria, quindi nel 96 il fatto che una similitudine risolvesse un problema di luogo di punti era uno shock!!