Triangolo
Inviato: 06 apr 2010, 19:45
Trovare tutti i triangoli con lati di misura intera e consecutivi la cui area ha un valore intero.
P.S. Non so la soluzione
P.S. Non so la soluzione
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Triangolo
Pagina 1 di 1
Inviato: 06 apr 2010, 20:19
bhe cominciamo da 3,4,5 area 6
Re: Triangolo
Inviato: 06 apr 2010, 21:04
come al solito questa richiesta è ambigua...Carlitosming ha scritto:Trovare
Inviato: 06 apr 2010, 21:08
L'ho preso da Aops e l'ho tradotto.
Se lo trovi ambiguo,ti fornisco un'altra traccia,che,spero sia più chiara.
Descrivi i triangoli che hanno tre lati consecutivi di misura intera e hanno area intera
Se lo trovi ambiguo,ti fornisco un'altra traccia,che,spero sia più chiara.
Descrivi i triangoli che hanno tre lati consecutivi di misura intera e hanno area intera
Inviato: 06 apr 2010, 21:30
si ma cosi non cambia niente, anzi è anche peggio. Se di triangoli siffatti ne esistono infiniti, che significato assume il verbo "trovare"?
Comunque mi sembra più teoria dei numeri che geometria
Comunque mi sembra più teoria dei numeri che geometria
Inviato: 06 apr 2010, 21:59
Sì anche a me... uso la formula di Erone (questa volta me la concedi Maioc? 
) e se non sbaglio i calcoli i lati sono tutte e sole le soluzioni della diofantea
$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
) e se non sbaglio i calcoli i lati sono tutte e sole le soluzioni della diofantea$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
Inviato: 06 apr 2010, 22:43
esatto. Ora io, nella mia ignoranza non so se sia possibile determinare di che forma sono tutte le soluzioni, ma per dire che sono infinite basta notare che $ a=4 $ è soluzione, e che se $ a $ è soluzione allora $ a^2-2 $ è soluzioneGauss91 ha scritto:Sì anche a me... uso la formula di Erone (questa volta me la concedi Maioc?
$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
Inviato: 07 apr 2010, 18:05
vediamo se riesco a combinare qualcosa di buono...
dalla formula di erone (come ha già detto gauss91) l'area vale $ \frac{n}{4}\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ , dove n è la lunghezza del lato intermedio.
Perchè tale espressione sia intera $ n\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ deve essere multiplo di 4 e lo è soltanto se n è pari. poniamo quindi $ n=2k $ e, svolgendo i calcoli, l'area diventa della forma $ k\sqrt{3(k^2-1)} $.
ora, tutto ciò che si trova sotto la radice deve essere un quadrato perfetto e lo è solo se $ k^2-1=3m^2 $, con m intero generico.
le soluzioni fondamentali dell'equazione di pell sono $ k_1=2 $ e $ m_1=1 $; tutte le altre infinite soluzioni si ottengono per ricorsione dalle formule:
$ k_{i+1}=k_1k_i+3m_1m_i $
$ m_{i+1}=k_1m_i+m_1k_i $
Tutti i lati intermedi cercati sono pertanto della forma $ n_{i+1}=2k_{i+1}=2k_1k_i+6m_1m_i $ e gli altri due si ottengono ovviamente aggiungendo e togliendo 1 da questa espressione.
non c'è nulla di geometrico, però ormai c'ero...
dalla formula di erone (come ha già detto gauss91) l'area vale $ \frac{n}{4}\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ , dove n è la lunghezza del lato intermedio.
Perchè tale espressione sia intera $ n\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ deve essere multiplo di 4 e lo è soltanto se n è pari. poniamo quindi $ n=2k $ e, svolgendo i calcoli, l'area diventa della forma $ k\sqrt{3(k^2-1)} $.
ora, tutto ciò che si trova sotto la radice deve essere un quadrato perfetto e lo è solo se $ k^2-1=3m^2 $, con m intero generico.
le soluzioni fondamentali dell'equazione di pell sono $ k_1=2 $ e $ m_1=1 $; tutte le altre infinite soluzioni si ottengono per ricorsione dalle formule:
$ k_{i+1}=k_1k_i+3m_1m_i $
$ m_{i+1}=k_1m_i+m_1k_i $
Tutti i lati intermedi cercati sono pertanto della forma $ n_{i+1}=2k_{i+1}=2k_1k_i+6m_1m_i $ e gli altri due si ottengono ovviamente aggiungendo e togliendo 1 da questa espressione.
non c'è nulla di geometrico, però ormai c'ero...