Triangolo

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Carlitosming
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Triangolo

Messaggio da Carlitosming » 06 apr 2010, 19:45

Trovare tutti i triangoli con lati di misura intera e consecutivi la cui area ha un valore intero.
P.S. Non so la soluzione :D

amatrix92
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Messaggio da amatrix92 » 06 apr 2010, 20:19

bhe cominciamo da 3,4,5 area 6 :P
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Maioc92
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Re: Triangolo

Messaggio da Maioc92 » 06 apr 2010, 21:04

Carlitosming ha scritto:Trovare
come al solito questa richiesta è ambigua...
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Carlitosming
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Messaggio da Carlitosming » 06 apr 2010, 21:08

L'ho preso da Aops e l'ho tradotto.
Se lo trovi ambiguo,ti fornisco un'altra traccia,che,spero sia più chiara.
Descrivi i triangoli che hanno tre lati consecutivi di misura intera e hanno area intera

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 06 apr 2010, 21:30

si ma cosi non cambia niente, anzi è anche peggio. Se di triangoli siffatti ne esistono infiniti, che significato assume il verbo "trovare"?

Comunque mi sembra più teoria dei numeri che geometria :wink:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 06 apr 2010, 21:59

Sì anche a me... uso la formula di Erone (questa volta me la concedi Maioc? :lol: ) e se non sbaglio i calcoli i lati sono tutte e sole le soluzioni della diofantea

$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 06 apr 2010, 22:43

Gauss91 ha scritto:Sì anche a me... uso la formula di Erone (questa volta me la concedi Maioc? :lol: ) e se non sbaglio i calcoli i lati sono tutte e sole le soluzioni della diofantea

$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
esatto. Ora io, nella mia ignoranza non so se sia possibile determinare di che forma sono tutte le soluzioni, ma per dire che sono infinite basta notare che $ a=4 $ è soluzione, e che se $ a $ è soluzione allora $ a^2-2 $ è soluzione
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

ale.b
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Messaggio da ale.b » 07 apr 2010, 18:05

vediamo se riesco a combinare qualcosa di buono...

dalla formula di erone (come ha già detto gauss91) l'area vale $ \frac{n}{4}\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ , dove n è la lunghezza del lato intermedio.
Perchè tale espressione sia intera $ n\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ deve essere multiplo di 4 e lo è soltanto se n è pari. poniamo quindi $ n=2k $ e, svolgendo i calcoli, l'area diventa della forma $ k\sqrt{3(k^2-1)} $.
ora, tutto ciò che si trova sotto la radice deve essere un quadrato perfetto e lo è solo se $ k^2-1=3m^2 $, con m intero generico.
le soluzioni fondamentali dell'equazione di pell sono $ k_1=2 $ e $ m_1=1 $; tutte le altre infinite soluzioni si ottengono per ricorsione dalle formule:
$ k_{i+1}=k_1k_i+3m_1m_i $
$ m_{i+1}=k_1m_i+m_1k_i $
Tutti i lati intermedi cercati sono pertanto della forma $ n_{i+1}=2k_{i+1}=2k_1k_i+6m_1m_i $ e gli altri due si ottengono ovviamente aggiungendo e togliendo 1 da questa espressione.

non c'è nulla di geometrico, però ormai c'ero...

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