Diagonale su rettangolo quadrettato

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Euler
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Diagonale su rettangolo quadrettato

Messaggio da Euler » 06 apr 2010, 17:21

Abbiamo un rettangolo quadrettato di lati a e b, determinare il numero di quadretti attraversati dalla diagonale in funzione dei lati :roll:
cogito ergo demonstro

spugna
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Messaggio da spugna » 08 apr 2010, 20:07

Se un quadretto ha in comune solo un vertice con la diagonale lo considero attraversato?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 08 apr 2010, 20:19

Non so cosa dica il problema, ma è più figo se non lo consideri attraversato :)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

mathias.jag
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Ipotesi....

Messaggio da mathias.jag » 08 apr 2010, 20:57

Allora, io farei così, ma non so se la dimostrazione possa essere considerata tale mantenendo la dignità del nome... tenterò di mettere giù in modo formale una mia intuizione un po alla cavolo...

Noto innanzitutto che il problema equivale a risolvere il sistema:
$ b/a x +b = y (retta) \quad $
$ x+ t = y $
con t inteso come un parametro appartenente all'insieme dei numeri naturali compreso tra b e -a
si noti che la retta col parametro variabile si interseca col la "prima" rettaun numero di volte pari al numero di tutti i naturali compresi tra$ a-1 $ e 0 sommati ai numeri naturali compresi tra $ b-1 $ e 0, che sono in totale a+b-1 ( provare con il grafico per credere....) questo vale se i lati a e b sono numeri primi tra loro, se non lo sono, allora si ha che se, posto k come il massimo comun divisore tra a e b (scusate, ma non uso bene il LaTeX) $ k(a/k +b/k -1) $ poichè questo equivale a contare i quadretti che attraversa l'ipotenusa di k triangolini "primi"....

In sisntesi la formula è, detto k il massimo comun divisore tra a e b:
$ a+b-k $

Giusto ?

P.s. scusate, ma non riesco a esser breve...

mathias.jag
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Ipotesi....

Messaggio da mathias.jag » 08 apr 2010, 20:58

Allora, io farei così, ma non so se la dimostrazione possa essere considerata tale mantenendo la dignità del nome... tenterò di mettere giù in modo formale una mia intuizione un po alla cavolo...

Noto innanzitutto che il problema equivale a risolvere il sistema:
$ b/a x +b = y (retta) \quad $
$ x+ t = y $
con t inteso come un parametro appartenente all'insieme dei numeri naturali compreso tra b e -a
si noti che la retta col parametro variabile si interseca col la "prima" rettaun numero di volte pari al numero di tutti i naturali compresi tra$ a-1 $ e 0 sommati ai numeri naturali compresi tra $ b-1 $ e 0, che sono in totale a+b-1 ( provare con il grafico per credere....) questo vale se i lati a e b sono numeri primi tra loro, se non lo sono, allora si ha che se, posto k come il massimo comun divisore tra a e b (scusate, ma non uso bene il LaTeX) $ k(a/k +b/k -1) $ poichè questo equivale a contare i quadretti che attraversa l'ipotenusa di k triangolini "primi"....

In sisntesi la formula è, detto k il massimo comun divisore tra a e b:
$ a+b-k $

Giusto ?

P.s. scusate, ma non riesco a esser breve...

mathias.jag
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Ipotesi....

Messaggio da mathias.jag » 08 apr 2010, 20:59

Allora, io farei così, ma non so se la dimostrazione possa essere considerata tale mantenendo la dignità del nome... tenterò di mettere giù in modo formale una mia intuizione un po alla cavolo...

Noto innanzitutto che il problema equivale a risolvere il sistema:
$ b/a x +b = y (retta) \quad $
$ x+ t = y $
con t inteso come un parametro appartenente all'insieme dei numeri naturali compreso tra b e -a
si noti che la retta col parametro variabile si interseca col la "prima" rettaun numero di volte pari al numero di tutti i naturali compresi tra$ a-1 $ e 0 sommati ai numeri naturali compresi tra $ b-1 $ e 0, che sono in totale a+b-1 ( provare con il grafico per credere....) questo vale se i lati a e b sono numeri primi tra loro, se non lo sono, allora si ha che se, posto k come il massimo comun divisore tra a e b (scusate, ma non uso bene il LaTeX) $ k(a/k +b/k -1) $ poichè questo equivale a contare i quadretti che attraversa l'ipotenusa di k triangolini "primi"....

In sisntesi la formula è, detto k il massimo comun divisore tra a e b:
$ a+b-k $

Giusto ?

P.s. scusate, ma non riesco a esser breve...

Euler
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Messaggio da Euler » 08 apr 2010, 21:02

Sì è esatto, considerando che se la diagonale tocca solo un vertice di un quadrato, allora non lo attraversa. Comunque penso che sarebbe bastata una dimostrazione un po' più corta . 8)

mathias.jag
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Messaggio da mathias.jag » 08 apr 2010, 21:44

sì, magari per induzione.... bah. La formula si intuisce dopo qualche prova,quindi si potrebbe anche fare, ma io sono fermamente contro la dimostrazione per induzione in quanto mi sembra un pò..... strana. partire dalla formula con la quale concludi non mi piace, anche perchè la dimostrazione per induzione di formule tipo quelle che servono per calcolare le somme parziali delle prime n potenze deviano il lettore dalla dimostrazione originale, quella che si è usata per scoprire il polinomio....
bah.

Euler
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Messaggio da Euler » 08 apr 2010, 21:57

mathias.jag ha scritto:sì, magari per induzione.... bah. La formula si intuisce dopo qualche prova,quindi si potrebbe anche fare, ma io sono fermamente contro la dimostrazione per induzione in quanto mi sembra un pò..... strana. partire dalla formula con la quale concludi non mi piace, anche perchè la dimostrazione per induzione di formule tipo quelle che servono per calcolare le somme parziali delle prime n potenze deviano il lettore dalla dimostrazione originale, quella che si è usata per scoprire il polinomio....
bah.
Io non ho usato un' induzione, ma ho semplicemente considerato che se i lati sono primi tra di loro, allora, considerando ad esempio il lato a, abbiamo a quadrati di intersezione più tanti altri quadrati quanti le linee della griglia in b, che sono b-1, quindi il numero di quadrati è a+b-1. Se invece i lati sono divisibili per uno stesso numero che non è 1, allora il numero sarà a+b-1-k, dove k è il MCD-1, perchè infatti avremo k punti appartenenti alla griglia in cui la diagonale passa. Allora in generale è a+b-MCD(a,b) come hai detto tu prima. :)

mathias.jag
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Messaggio da mathias.jag » 08 apr 2010, 22:12

E bravo euler....
la cosa che hai detto te ora è quella che ho visto io sul foglio, ma non sapevo come dirla in maniera formale (tendo sempre a trasformare tutto in geometria analitica quando è piana)...

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 09 apr 2010, 00:25

mathias.jag ha scritto:io sono fermamente contro la dimostrazione per induzione
temo che allora avrai vita dura... :roll:
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