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Sembra giusto il ragionamento, ma non conosco i teoremi...provo a confermare usando le derivate, anche se i calcoli saranno molto più lunghi

wow.. tanto di cappello per la dimostrazione; fino a quando Scrivi A= e P= è sicuramente vera e anche molto ben fatta a mio modesto parere. Dopo se provi a sostituire la x nell'Eq. il rapporto ti viene 0,21... mi sembra che ci sia un errore quando fai il rapporto nella prima Eq. ma non riesco a trovarlo. Comunque la soluzione è davvero vicina!

@ Euler: quali teoremi, di preciso? Weierstrass/cerchio-area massima/AM-GM?
@amatrix92: io do il mio meglio nello sbagliare dimostrazioni quando viene il momento di calcolare...comunque credo di aver visto un errorino nel penultimo passaggio.. avevo scritto $ \sqrt{2} $ invece di $ \sqrt{\pi} $..

ghilu ha scritto:@ Euler: quali teoremi, di preciso? Weierstrass/cerchio-area massima/AM-GM?

Purtroppo non conosco molti teoremi, appena ho tempo penso di calcolare una semplicissima derivata e porla uguale a 0 (le mie conoscenze sono abbastanza frammentarie, visto che essendo in seconda devo imparare le cose da solo ).

Alla fine ho trovato che in questo modo il rapporto massimo è con una rientranza x=0,26508...la cosa strana è che il rapporto A/2p è uguale a x(verificato con la calcolatrice), come me lo sapete spiegare??

@Ghilu: cosa significa "gli archi sono tangenti ai lati"? Cos'è un "arco tangente"? Intendi dire "quarti di circonferenza" quando parli di archi? Altrimenti la definizione di "tangenza" mi sembra un po' problematica in questo caso specifico di quadrato.
PS: stupefacente la parte dei calcoli senza che usi le derivate!

@Gauss91: Beh, si può dire che una curva è tangente a dei segmenti. In questo caso le curve sono archi (cioè pezzi di circonferenza). Detto molto brutalmente a parole, "essere tangente" non vuol dire "intersecare in un punto", ma vuol dire "andare localmente nella stessa direzione" (cioè avere la stessa derivata/limite di essa o, semplicemente, "non formare un angolo nell'intersezione").
Nel caso considerato le curve (archi) sono tangenti ai lati solo se si tratta di quarti di circonferenze. In caso contrario, formeranno un "punto angoloso".
E, ovviamente: non TUTTI i lati!

@Euler: AM-GM è la disuguaglianza $ 2\sqrt{xy}\leq x+y $, con uguaglianza solo in x=y.
La coincidenza che hai trovato, invece, è (credo) una "specie" di coincidenza (metto le virgolette perché non può essere veramente tale), forse derivata dal fatto che è possibile una risoluzione con AM-GM come l'ho impostata io.
La cosa si interpreta così: $ A=2px=\frac{(4x)p}{2} $. Ovvero: il campo comprato è conveniente tanto quanto uno circolare di raggio 4x.
Anche se non so cosa significhi di preciso.

Ma allora è questa la configurazione più conveniente (con 4 archi e 4 segmenti) oppure ne esiste un'altra ancora migliore, visto che effettivamente non è stato dimostrato benissimo questo fatto?

Euler ha scritto:Ma allora è questa la configurazione più conveniente (con 4 archi e 4 segmenti) oppure ne esiste un'altra ancora migliore, visto che effettivamente non è stato dimostrato benissimo questo fatto?

scusa ma dov'è che non è dimostrato benissimo?

No stavo scherzando ...non avevo letto bene