Si considerino l'n-gono regolare di lato a ed un punto M ad esso interno.
Dette $ \displaystyle x_1,x_2,...,x_n $ le distanze di M dalle rette dei lati del poligono,dimostrare che si ha:
$ \displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n} >\frac{2\pi}{a} $
Una questione di...distanze !
Forse ghilu voleva scrivere un'altra cosa perché ,se A indica un'area ,allora la sua diseguaglianza èghilu ha scritto:Sbaglio o è una stima moooolto larga?
$ LHS\geq \frac{n^2 a^2}{2A} $, almeno per n pari (basta considerare le coppie di lati opposti per capire che il minimo è nel centro).
dimensionalmente errata.Infatti il secondo membro di essa è un numero
mentre il primo membro è una lunghezza elevata alla -1
La relazione trovata da me ( valida per un n qualsiasi e non solo per n pari) è:
$ \displaystyle \sum_i \frac{1}{x_i}\ge \frac{2n}{a}\tan \frac{\pi}{n} $
Oppure_
$ \displaystyle \sum_i \frac{1}{x_i}\ge \frac{2\pi}{a}\cdot\frac{\tan \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} $
Ora è noto che se a è un angolo acuto si ha tan(a)>a da cui tan(a)/a>1.
Pertanto :
$ \displaystyle \sum_i \frac{1}{x_i} > \frac{2\pi}{a} $
Scusa tanto: banale e stupido mio errore di calcolo!
Comunque, ecco come ho ragionato:
Sia x il vettore che collega il centro del poligono a M. Siano $ v_1,\ldots a_n $ i vettori unitari perpendicolari ai lati. Sia (A;B) il simbolo per il prodotto scalare. Sia $ k=\frac{2A}{na} $ l'apotema del poligono.
Allora $ $LHS=\sum_{i=1}^n \frac{1}{k+(x;v_i)}\geq \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n k+(x;v_i)}$ $ per AM-HM.
$ $RHS=\frac{n^2}{nk+(x;\sum_{i=1}^n v_i)}=\frac{n}{k}=\frac{an^2}{2A} $.
Ma se indichiamo con P=na i perimetro della figura allora vale $ \frac{P^2}{A}\geq 4\pi $ per il problema "isoperimetrico".
Da cui la tesi.
Comunque, ecco come ho ragionato:
Sia x il vettore che collega il centro del poligono a M. Siano $ v_1,\ldots a_n $ i vettori unitari perpendicolari ai lati. Sia (A;B) il simbolo per il prodotto scalare. Sia $ k=\frac{2A}{na} $ l'apotema del poligono.
Allora $ $LHS=\sum_{i=1}^n \frac{1}{k+(x;v_i)}\geq \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n k+(x;v_i)}$ $ per AM-HM.
$ $RHS=\frac{n^2}{nk+(x;\sum_{i=1}^n v_i)}=\frac{n}{k}=\frac{an^2}{2A} $.
Ma se indichiamo con P=na i perimetro della figura allora vale $ \frac{P^2}{A}\geq 4\pi $ per il problema "isoperimetrico".
Da cui la tesi.
Ultima modifica di ghilu il 27 mar 2010, 20:38, modificato 1 volta in totale.
Non si smette mai di imparare.
Credo che sia andato all'anagrafe per cambiar nome...
Beh, in effetti l'area potevo calcolarla con qualsiasi proiezione, non solo con l'apotema... Boh, è stato automatico:
Uno nota subito che il minimo sembra al centro, allora metto una quantità (che alla fine scompare magicamente, segno del fatto che non servisse poi a molto) che si annulli al centro e scrivo le distanze con esso (coinvolgendo, già che ci siamo, l'apotema, che compare nel caso di supposto minimo).
Chiaramente utilizzo la tua disuguaglianza, che si chiama anche HM-AM, che si chiama anche C.S., e anche convessità di 1/x e anche Chebycheff e chi sa in che altro modo... sviluppo e finisco...
Beh, in effetti l'area potevo calcolarla con qualsiasi proiezione, non solo con l'apotema... Boh, è stato automatico:
Uno nota subito che il minimo sembra al centro, allora metto una quantità (che alla fine scompare magicamente, segno del fatto che non servisse poi a molto) che si annulli al centro e scrivo le distanze con esso (coinvolgendo, già che ci siamo, l'apotema, che compare nel caso di supposto minimo).
Chiaramente utilizzo la tua disuguaglianza, che si chiama anche HM-AM, che si chiama anche C.S., e anche convessità di 1/x e anche Chebycheff e chi sa in che altro modo... sviluppo e finisco...
Non si smette mai di imparare.