Equilateri sui lati di un triangolo

Tin-Tan · Messaggio da **Tin-Tan** » 10 mar 2010, 16:03

Sia ABC un triangolo, siano P,Q,R punti tali che i triangoli ABP, BCQ, CAR sono tutti equilateri (costruiti al sterno di ABC). Siano D, E, F i punti medi di QR, RP, PQ rispettivamente. Dimostra che le perpendicolari alle rette AB, BC, CA per i punti D,E,F rispettivamente sono concorrenti.

ghilu · Messaggio da **ghilu** » 15 mar 2010, 22:55

Si risolve facilmente da questo fatto.
Prendiamo ABC e XYZ e un punto P.
Supponiamo che
AP sia perpendicolare a YZ
BP sia perpendicolare a ZX
CP sia perpendicolare a XY.
Allora esiste un punto Q tale che:
XQ sia perpendicolare a BC
YQ sia perpendicolare a CA
ZQ sia perpendicolare a AB.

ghilu · Messaggio da **ghilu** » 16 mar 2010, 20:39

Provate a dimostrare usando il fatto: è istruttivo.
Se volete dimostrare il fatto, ecco un hint:
usare ceva trigonometrico.

Tin-Tan · Messaggio da **Tin-Tan** » 17 mar 2010, 15:43

Bene! la mia soluzione è senza utilizare quel fato, ma adesso ho visto che l'idea è sempre la stessa (con una piccola variante), allora non la scrivo per chi vuole provare dimostrare sia il fato sia il problema.

Tin-Tan · Messaggio da **Tin-Tan** » 17 mar 2010, 16:36

Con una idea ho visto che questo problema si può generalizzare tanto, qua piazzo un problema che ho inventato adesso utilizzando la generalizzazione e altre piccole idee. Espero non lo trovate troppo bruto

.

Sia ABC un triangolo, P,Q, R tali che AP=8, PB=9, BQ=40, QC=41, RC=17, RA=15. Siano D,E,F i punti di tangenza del incerchio del triangolo PQR con RQ, RP, PQ rispettivamente, siano X,Y,Z i piedi di altezza (nel triangolo EDF) da D,E,F rispettivamente. Dimostrare che le perpendicolari a AB, BC, CA per X,Y,Z rispettivamente, sono concorrenti.

ghilu · Messaggio da **ghilu** » 17 mar 2010, 19:34

Come prima, ti riduci a dimostrare che concorrono le perpendicolari da P,Q,R a BC,CA,AB o la terna equivalente.

ghilu · Messaggio da **ghilu** » 18 mar 2010, 11:54

E comunque a me sembra falso... a meno che tu non intenda A, Q, R allineati eccetera...

Tin-Tan · Messaggio da **Tin-Tan** » 18 mar 2010, 19:23

In fati, P, Q, R non per forza devono stare sui lati del triangolo, sempre è come costruire triangoli sui lati del triangolo ABC.

Reginald · Messaggio da **Reginald** » 19 mar 2010, 18:21

[bovino] si risolve anche sul piano cartesiano se non ho sbagliato...[/bovino]

Tin-Tan · Messaggio da **Tin-Tan** » 20 mar 2010, 12:15

Forse si, comunque c'è una soluzione con geometria sintetica più o meno veloce.