Massimi e minimi...geometrici

[karl]

Sono fissato nel piano l'angolo convesso $ \displaystyle X\hat{O}Y $ ed il punto M
ad esso interno.Si conduca per M la retta r che
intersechi le semirette OX ed OY nei punti R ed S rispettivamente.
Si determini la posizione di r in modo che :

1) risulti massima l'espressione: $ \displaystyle\frac{MR+MS}{MR\cdot MS} $


2) risulti minima l'espressione $ \displaystyle OR^2 \cdot OS^3 $

N.B. A scanso di equivoci tenete presente che si tratta di due problemi distinti.

[amatrix92]

nel primo caso direi che se si mette la retta r quasi parallela a OY e il più vicina possibile a O, l'espressione che hai sciritto tende a infinito...
e nel secondo caso basta mettere la retta r pasante per O, e l'espressione viene 0.

come al solito ho paura di aver tirato due sfondoni

[Spammowarrior]

nel primo caso direi che se si mette la retta r quasi parallela a OY e il più vicina possibile a O, l'espressione che hai sciritto tende a infinito...
e nel secondo caso basta mettere la retta r pasante per O, e l'espressione viene 0.

come al solito ho paura di aver tirato due sfondoni

missà che ne hai preso solo uno

nella seconda a occhio e croce va bene, ma nella prima nel tuo caso non tende ad infinito, tende al reciproco del segmento finito

[amatrix92]

ma nella prima nel tuo caso non tende ad infinito, tende al reciproco del segmento finito

si è vero hai ragione.. io ho considerato l'angolo formato da due semirette e non da due segmenti. e poi non so perchè avevo cercato il minmo anche lì

[karl]

Effettivamente Amatrix92 ha ragione nel secondo caso.Diciamo allora
che va inteso così: il triangolo ORS non deve essere degenere.

[amatrix92]

Per il 2) Pongo x>y e pongo la retta r tale che l'angolo$ \displaystyle O\hat{X}S $ tenda a 0 e ho così che l'espressione tenda a $ 1/ \infty = 0 $ se invece tende a $ 1 / x $ spiegatemelo perchè non l'ho proprio capito

P.s = visto che ORS non deve essere degenere prendo l'angolo oXs ≠ 0

[amatrix92]

Mi viene anche da dire che la risposta 1) è analoga in grandi linee alla 2), ovvero ponendo OR < OS, tanto più OR è minore , quanto più l'espressione tende ad assumere il valore di Y

[karl]

@Amatrix
Guarda che X ed Y non sono punti fissi ma servono ad indicare le semirette
OX ed OY che sono i lati dell'angolo.E pertanto non hanno una distanza prefissata da O !
Tieni anche presente che la retta r ,nel ruotare attorno al punto M,non
può assumere tutte le posizioni possibili in quanto deve tagliare le semirette
OX ed OY e non i loro prolungamenti.

[ghilu]

Il primo mi ricorda molto un esercizio dello Stage Junior del 2006, del quale non ricordo la prima soluzione che ne diedi (e quindi lo risolvo con la testa di oggi).

La cosa che a me sembra più ovvia è invertire in M. In questo modo abbiamo 2 circonferenze di centri U e Q che si intersecano in O e M e c'è una retta r che interseca le 2 circ. in R e S. Si vuole trovare il massimo di RS, che dovrebbe essre facile da trovare. Dovrebbe bastare la bisettrice giusta delle rette {MQ} e {MU}.
Allora la risposta del problema è: la retta passante per M e parallela alla bisettrice dell'angolo dato.

Sapendo la risposta credo che si riescano a trovare altre soluzioni.

Detto questo, vi saluto! vado a preparare la valigia per RMM

[karl]

Ghilu ,ma sei sicuro ?
Se putacaso M stesse sulla bisettrice di XOY allora la tua parallela
coinciderebbe con la bisettrice medesima e passerebbe per O.
Se M non sta sulla bisettrice,mi riesce difficile pensare ad una retta,
passante per M e parallela alla bisettrice, che incontri entrambi i lati
dell'angolo e non il prolungamento di uno di essi...
(la traccia dice :"... che intersechi le semirette OX ed OY ...")

[ghilu]

ero di fretta..son qui per non finire con una castroneria...
1) intendevo perpendicolare
2) in realtà dovrebbe essere "perpendicolare a MO"
sorry, scappo.