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Si consideri un qualsiasi triangolo ABC e sui suoi lati AB,BC,CA si fissino
i punti M,N,P rispettivamente.
Dimostrare quanto segue:
Condizione necessaria e sufficiente perché i triangoli ABC ed MNP abbiano
il medesimo baricentro G è che il risulti:
$ \displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=costante $

dalle proprietà delle proporzioni si ricava che:
$ \frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA} $
se e solo se
$ \frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CA} $
Siano $ x,y,z $ questi ultimi tre rapporti.

Usiamo i vettori. (tralasciamo le freccine)
$ M=(1-x)A+xB $
$ N=(1-y)B+yC $
$ P=(1-z)C+zA $

Enuncio senza dimostrare (è un buon esercizio farlo)
Fatto1: Il baricentro di A,B,C è $ \frac{A+B+C}{3} $
Fatto2: ogni punto del piano si può scrivere in un unico modo nella forma
$ \alpha A + \beta B + \gamma C $, con $ \alpha + \beta + \gamma =1 $

Il baricentro di M,N,P è: $ \frac{(1-x+z)A+(1-y+x)B+(1-z+y)C}{3} $.
Per il fatto 1.

Deve dunque valere:
$ 1-x+z=1 $ e cicliche.
Per il fatto 2.

Risolvendo: $ x=y=z $.

E' superfluo aggiungere che se viceversa è x=y=z i due baricentri coincidono.
Bella soluzione davvero...