luogo geometrico tra due rette parallele
luogo geometrico tra due rette parallele
in un piano si consideri un punto P equidistante da due rette parallele distinte a ,b assegnate.si tracci una retta r per P che interseca le rette a,b in A e B rispettivamente.al variare della retta r il luogo geometrico dei punti C per i quali ABC è un triangolo equilatero da cosa è costituito?
Soluzione con l'analitica:
A meno di omotetie, rotazioni e traslazioni prendo P nell'origine e le rette $ x=\pm1 $. come retta r prendiamo r: y=ax. Quindi A e B sono i punti (-1,-a) (1,a) e la loro distanza vale quindi: $ AB=2\sqrt{a^2+1} $. Considero l'asse s di r: $ y=\frac{-x}{a} $. Il punto C che rende equilatero ABC sta su s a una distanza dall'origine di $ \sqrt{3(1+a^2)} $. Le coordinate di C sono quindi:
$ y_c=-\frac{1}{a}x_c $
$ 3(1+a^2)=x_c^2+y_c^2 $
Si ricava facilmente per sostituzione che
$ y_c=\pm\sqrt{3} $
$ x_c=\pm a\sqrt{3} $
Quindi il luogo dei punti richiesto è l'insieme delle due rette $ y=\pm\sqrt{3} $ (poichè $ 0\le a<+\inf $ quindi $ -\inf < x_c<+\inf $)
A meno di omotetie, rotazioni e traslazioni prendo P nell'origine e le rette $ x=\pm1 $. come retta r prendiamo r: y=ax. Quindi A e B sono i punti (-1,-a) (1,a) e la loro distanza vale quindi: $ AB=2\sqrt{a^2+1} $. Considero l'asse s di r: $ y=\frac{-x}{a} $. Il punto C che rende equilatero ABC sta su s a una distanza dall'origine di $ \sqrt{3(1+a^2)} $. Le coordinate di C sono quindi:
$ y_c=-\frac{1}{a}x_c $
$ 3(1+a^2)=x_c^2+y_c^2 $
Si ricava facilmente per sostituzione che
$ y_c=\pm\sqrt{3} $
$ x_c=\pm a\sqrt{3} $
Quindi il luogo dei punti richiesto è l'insieme delle due rette $ y=\pm\sqrt{3} $ (poichè $ 0\le a<+\inf $ quindi $ -\inf < x_c<+\inf $)
Aboliamo il latino nei licei scientifici!
Si può risolvere in 2 modi... con i complessi e con le trasformazioni geometriche (che a dir la verità servono anche con i complessi).
Fatto 1 che sarà usato implicitamente: P è il punto medio di un lato del triangolo equilatero.
Complessi: E' chiaro che il problema è invariante per traslazioni. Pongo l'origine in P. A è un punto generico appartenente ad a. Se ruoto P di +- 60 gradi rispetto a A e poi applico un omotetia di centro A e fattore 2 ottengo C. Quindi svolgo i calcoli (assumendo la rotazione positiva, altrimenti è praticamente la stessa cosa):
$ $((((P-A)\sqrt[6]{1})+A)-A)2+A=2\sqrt[6]{1}(-A)+A=A(1-2\sqrt[6]{1})=A(1-\sqrt{3}i+1)=i\sqrt{3}A $
Quindi il luogo dei punti è la retta ottenuta ruotando di 90° a con centro P e omotetizzandola sempre con centro P e fattore $ $\sqrt{3} $. Per il caso della rotazione di -60° è praticamente la stessa cosa... ma "dall'altra parte" rispetto a P.
Trasformazioni geometriche: si conclude più elegantemente notando che C è ottenuto come la rotazione di 90° di A rispetto a P e poi tramite un omotetia di fattore $ $\sqrt{3} $. Praticamente sposto A sull'altezza del triangolo e poi sfrutto il lemma noto del rapporto tra altezza e lato in un triangolo rettangolo. Così si ottiene ovviamente lo stesso risultato precedente
Lemmini: Una rotazione di $ $\frac{a}{b}\pi $ di P con centro Z si esprime con i complessi come $ $(P-Z)(1)^{\frac{a}{b}} $... dimostratelo (la potenza a/b di 1 intende la potenza a-esima della radice b-esima dell'unità) ;)
p.s. esercizio facilotto ma istruttivo... ora ho visto che Giulius ha postato anche la soluzione in analitica... le abbiamo fatte tutte xD
Fatto 1 che sarà usato implicitamente: P è il punto medio di un lato del triangolo equilatero.
Complessi: E' chiaro che il problema è invariante per traslazioni. Pongo l'origine in P. A è un punto generico appartenente ad a. Se ruoto P di +- 60 gradi rispetto a A e poi applico un omotetia di centro A e fattore 2 ottengo C. Quindi svolgo i calcoli (assumendo la rotazione positiva, altrimenti è praticamente la stessa cosa):
$ $((((P-A)\sqrt[6]{1})+A)-A)2+A=2\sqrt[6]{1}(-A)+A=A(1-2\sqrt[6]{1})=A(1-\sqrt{3}i+1)=i\sqrt{3}A $
Quindi il luogo dei punti è la retta ottenuta ruotando di 90° a con centro P e omotetizzandola sempre con centro P e fattore $ $\sqrt{3} $. Per il caso della rotazione di -60° è praticamente la stessa cosa... ma "dall'altra parte" rispetto a P.
Trasformazioni geometriche: si conclude più elegantemente notando che C è ottenuto come la rotazione di 90° di A rispetto a P e poi tramite un omotetia di fattore $ $\sqrt{3} $. Praticamente sposto A sull'altezza del triangolo e poi sfrutto il lemma noto del rapporto tra altezza e lato in un triangolo rettangolo. Così si ottiene ovviamente lo stesso risultato precedente
Lemmini: Una rotazione di $ $\frac{a}{b}\pi $ di P con centro Z si esprime con i complessi come $ $(P-Z)(1)^{\frac{a}{b}} $... dimostratelo (la potenza a/b di 1 intende la potenza a-esima della radice b-esima dell'unità) ;)
p.s. esercizio facilotto ma istruttivo... ora ho visto che Giulius ha postato anche la soluzione in analitica... le abbiamo fatte tutte xD
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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E' praticamente una frase di rito all'inizio di ogni dimostrazione con l'analitica. In pratica giustifico il fatto di scegliere le rette a distanza 1 dall'origine (omotetia), parallele all'asse delle ordinate (rotazione) e P nell'origine (traslazione). Visto che il problema è invariante per queste trasformazioni ho potuto non complicarmi la vita e mettere le rette in posizione "comoda" per fare i conti (potevo anche porre che le rette fossero y=mx+-q ma la forma più comoda era quella che ho scelto)
Aboliamo il latino nei licei scientifici!
Il punto C sta sull'asse di AB, fatto valido per ogni triangolo equilatero (o meglio: per ogni triangolo iscoscele il vertice opposto alla base giace sull'asse della base, segue dalla definizione di asse come luogo, quindi questo vale tanto più per un triangolo equilatero). L'asse di AB ha equazione y=-x/a (perchè deve essere perpendicolare alla retta y=ax di coefficiente angolare a e perchè deve passare per l'origine). In geometria anlitica l'appartenza di un punto di coordinate h,k a un luogo di equazione f(x,y)=0 si esprime con la condizione f(h,k)=0, cioè le coordinate del punto devono soddisfare l'equazione del luogo (la retta y=-x/a in questo caso da cui la condizione sulle coordinate x_c e y_c).
Inoltre non ho spiegato molto bene nel post in effetti che nel caso specifico del triangolo equilatero, l'altezza relativa ad AB (che coincide con il segmento di asse contenuto nel triangolo equilatero) misura $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ volte la misura del lato (fatto noto per Pitagora o perchè è sin60°). Quindi $ OC=\sqrt{x_c^2+y_c^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AB $ ma AB era stato ricavato prima e quadrando perchè sono tutte quantità positive ottengo la seconda equazione
Inoltre non ho spiegato molto bene nel post in effetti che nel caso specifico del triangolo equilatero, l'altezza relativa ad AB (che coincide con il segmento di asse contenuto nel triangolo equilatero) misura $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ volte la misura del lato (fatto noto per Pitagora o perchè è sin60°). Quindi $ OC=\sqrt{x_c^2+y_c^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AB $ ma AB era stato ricavato prima e quadrando perchè sono tutte quantità positive ottengo la seconda equazione
Aboliamo il latino nei licei scientifici!
Vi siete dimenticati della interpretazione puramente sintetica che è forse
più aderente allo spirito del Forum.
Siano allora r,s ( vedi figura) le due rette parallele , m la retta
mediana per il punto P e p la retta per P perpendicolare alle prime.
La generica retta t per P tagli r ed s in A e B e sia ABC il triangolo
equilatero in questione ( di cui in figura è tracciata solo la meta APC).
Sia poi L la proiezione ortogonale di C su p.
Posto RP=a ,per note regole si ha:
$ \displaystyle PC=AP \sqrt{3} $
da cui :
(1) $ \frac{PC}{AP}=\sqrt{3} $
E' facile notare che gli angoli segnati con egual colore sono congruenti
e quindi dalla similitudine dei triangoli APR e PLC si ha:
$ \displaystyle \frac{CL}{RP}=\frac{PC}{AP} $
Dalla (1) segue allora:
$ \displaystyle CL=RP\cdor\sqrt{3}=a\sqrt{3} $
Il punto C viene quindi a trovarsi alla distanza fissa $ \displaystyle a\sqrt{3} $ da p.
Per la simmetria della figura, il luogo è dunque formato dalla coppia di rette (a,a')
parallele alla retta p e distanti da essa di $ \displaystyle a\sqrt{3}{} $