parallelepipedo volume

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danielf
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parallelepipedo volume

Messaggio da danielf » 23 dic 2009, 13:36

in un parallelepipedo rettangolo P la lunghezza della diagonale è $ \sqrt{133} $ e la superficie totale è 228.Sapendo che uno dei lati è medio proporzionale tra gli altri due,il volume di P vale?

Sonner
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Messaggio da Sonner » 23 dic 2009, 14:38

Dunque, sia $ b $ il lato medio proporzionale, si ha che $ b^2=ac $. L'area totale del parallelepipedo è di 228, quindi: $ S=228 $, ossia $ 2ab+2bc+2ac=228 $, che sostituendo, semplificando e raccogliendo diventa $ b(a+b+c)=114 $.
Sfruttando il dato sulla lunghezza della diagonale $ d $ posso scrivere $ d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{133} $, quindi $ (a+b+c)^2 -(2ab+2bc+2ac)=133 $. Essendo $ 2ab+2bc+2ac=228 $ ottengo che $ (a+b+c)^2=361 $, quindi $ a+b+c=19 $. Da questa e dalla precedente relazione ottengo $ b=6 $. Infine, il volume del parallelepipedo equivale al prodotto dei tre lati, ma ricordando che $ b^2=ac $, $ V=abc=b^3 $, quindi il volume è di 216.

Matemick
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Messaggio da Matemick » 23 dic 2009, 14:46

Sonner ha scritto:$ 2ab+2bc+2ac=228 $, che sostituendo, semplificando e raccogliendo diventa $ b(a+b+c)=114 $.
potresti chiarirmi questo punto?

Sonner
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Messaggio da Sonner » 23 dic 2009, 14:48

Matemick ha scritto:
Sonner ha scritto:$ 2ab+2bc+2ac=228 $, che sostituendo, semplificando e raccogliendo diventa $ b(a+b+c)=114 $.
potresti chiarirmi questo punto?
Penso sia così, essendo $ b^2=ac $, $ 2ab+2bc+2ac=228 $ diventa $ 2ab+2bc+2b^2=228 $, ossia $ ab+bc+b^2=114 $, e quindi, raccogliendo, $ b(a+b+c)=114 $.

Matemick
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Messaggio da Matemick » 23 dic 2009, 14:56

scusa mi ero dimenticato della relazione precedente :oops:

ottimo lavoro, io mi stavo complicando la vita con sistemi assurdi mentre la tua soluzione è molto più facile :D

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