4 rette concorrenti

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spugna
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4 rette concorrenti

Messaggio da spugna » 22 dic 2009, 10:36

Sperando che non sia già stato postato.....

Siano $ \Gamma , \Gamma_1 , \Gamma_2 $ tre circonferenze complanari a due a due tangenti esternamente. Detti $ O,O_1,O_2 $ i loro rispettivi centri e $ C $ il punto di tangenza tra $ \Gamma_1 $ e $ \Gamma_2 $ , sia $ r $ la retta passante per $ C $ e tangente a $ \Gamma_1 $ e $ \Gamma_2 $. Detti $ AB $ il diametro di $ \Gamma $ perpendicolare a $ r $ (con $ A $ e $ B $ individuati in modo che il segmento $ OB $ sia tagliato da $ r $),$ M $ il punto di tangenza tra $ \Gamma $ e $ \Gamma_1 $,e $ N $ il punto di tangenza tra $ \Gamma $ e $ \Gamma_1 $,dimostrare che le rette $ r,AO_2,BO_1,MN $ concorrono.

Un piccolo consiglio:

La richiesta di dimostrare che MN contiene il punto di concorrenza delle altre tre rette è una domanda bonus. Il testo originale chiede di dimostrare solo la concorrenza di r,AO2 e BO1. Pertanto è consigliabile risolvere il problema "in due tempi"
Ultima modifica di spugna il 23 dic 2009, 17:52, modificato 1 volta in totale.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

spugna
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Messaggio da spugna » 31 dic 2009, 07:35

A questo punto potrebbe anche risolverlo Gabriel (che avrà sicuramente trovato una dimostrazione in -3 secondi),anche se dovreste vergognarvi di non aver risolto un problema che PERFINO IO ho saputo risolvere!!! :lol:
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

GioacchinoA
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Messaggio da GioacchinoA » 31 dic 2009, 16:01

Ti accontento :)

1. Sia $ D $ il punto medio di $ O_1O_2 $. Sia $ S $ l'intersezione di $ OD $ e $ O_1B $. L'omotetia di centro $ S $ che manda $ O_1 $ in $ B $ e $ D $ in $ [tex] $O[\tex] manda anche $ O_2 $ in $ A $, quindi $ S \in AO_2 \Rightarrow BO_1,AO_2,OD $ concorrono in $ S $.

2. Voglio dimostrare che $ M,S $ e $ N $ sono allineati.
Per semplicità di notazione sia $ O_1C=O_1M=b,O_2C=O_2N=c,OM=ON=a $.
Allora, per la similitudine di $ OSB $ e $ DSO_1 $ risulta che $ \frac{OS}{SD} = \frac{OB}{O_1D} = \frac{2OB}{2O_1D} = \frac{2a}{b+c} $.
Si ottiene facilmente che $ \frac{OD}{OS} = \frac{b+c+2a}{2a} $. Dunque l'omotetia di centro O e fattore $ \frac{b+c+2a}{2a} $ manda $ S $ in $ D $. Siano $ M' $ e $ N' $ gli omotetici di $ M $ e $ N $. Siccome ho poco tempo, ometto i calcoli, comunque con Menealo si dimostra che $ M',N' $ e $ D $ sono allineati, da cui segue che $ M,S $ e $ N $ sono allineati.

3. Sia $ H $ la proiezione di $ O $ su $ O_1O_2 $. Se dimostro che $ SDC $ è simile a $ ODH $, ho concluso perché risulterebbe $ SC \perp O_1O_2 $, ovvero $ r $ passerebbe per $ S $. Per far ciò basta dimostrare che $ \frac{SD}{OD}=\dfrac{DC}{DH} $.
Si ottiene facilmente che $ \frac{SD}{OD} = \frac{b+c}{b+c+2a} $.
Per facilitare la scrittura pongo $ O_1O_2=z,OO_1=x,OO_2=y $. Si ottiene $ \frac{SD}{OD}=\frac{z}{x+y} $.

Dunque non rimane che dimostrare $ \frac{DC}{DH}=\frac{z}{x+y} $.
$ DC = DO_1-OC = \frac{z}{2}- \frac{x+z-y}{2} = \frac{y-x}{2} $. Poi dalle condizioni $ OH = OO_1^2-O_1H^2 = OO_2^2-O_2H^2 \Rightarrow x^2-O_1H^2 = y^2-O_2H^2 $ e $ O_1H+O_2H=z $ si ottiene $ O_1H= \frac{x^2-y^2+z^2}{2z} $ da cui $ DH = O_1D-O_1H = \frac{z}{2}-\frac{x^2-y^2+z^2}{2z} = \frac{y^2-x^2}{2z} $.

In conclusione risulta $ \frac{DC}{DH}= \frac{\frac{y-x}{2}}{\frac{y^2-x^2}{2z}}=\frac{x+y}{z} $, come volevamo dimostrare.

Spero si capisca e soprattutto spero di non aver sbagliato (sono stato un po' breve in alcune parti, se non si capisce qualcosa dite). Buon anno a tutti!

PS. Avevo dimenticato la figura :)
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ghilu
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Messaggio da ghilu » 29 gen 2010, 10:33

E' sempre utile e dilettevole confrontarsi con soluzioni differenti.

Lemma: A,M,C allineati.
Infatti, se applichiamo l'omotetia di centro M che manda $ \Gamma\ in\ \Gamma _1 $, abbiamo che AB, $ \perp r $ e passante per O, andrà in O1C, $ \perp r $ e passante per O1.
Allora A va in C.

Analogamente: B,N,C allineati.

Chiamando $ S= O_2A \ intersecato \ O_1B $,
si ha, per Pappo applicato a $ O_1OO_2ACB $: M,S,N allineati.
E dunque la tesi.
Non si smette mai di imparare.

spugna
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Messaggio da spugna » 08 feb 2010, 22:59

ghilu ha scritto:per Pappo..........
Cioè? :oops:
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Messaggio da ndp15 » 08 feb 2010, 23:20

spugna ha scritto:
ghilu ha scritto:per Pappo..........
Cioè? :oops:
Credo sia questo

P.S ti prego perdonami TG ma non so che cercare sulla wiki inglese :roll:

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