Coniche con assi di simmetria perpendicolari(Own)

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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Coniche con assi di simmetria perpendicolari(Own)

Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 20 dic 2009, 00:50

1) Prendiamo una conica $ \Gamma_A $ con un asse di simmetria $ l_a $, una retta $ l_b $ perpendicolare a $ l_a $ e una conica $ \Gamma_B $ con asse $ l_b $.
Dimostrare che se $ \Gamma_A $ e $ \Gamma_B $ si intersecano in 4 punti distinti allora essi stanno sulla stessa circonferenza.

OriginalBBB
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Messaggio da OriginalBBB » 20 dic 2009, 09:28

Ma non era stato già proposto un esercizio simlile?

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 20 dic 2009, 11:31

OriginalBBB ha scritto:Ma non era stato già proposto un esercizio simlile?
E' una generalizzazione di:
Date due parabole con assi tra loro perpendicolari che si intersecano in 4 punti distinti, allora per i 4 punti passa una ed una sola circonferenza.
Ora però fare tutto con la geometria analitica, sfruttando il fatto che tutte le coniche hanno equazione $ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $, mi pare quantomeno più problematico.

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 20 dic 2009, 12:24

Addirittura l'equazione generica... Se dice che gli assi sono perpendicolari... :?
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

fph
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Messaggio da fph » 20 dic 2009, 12:24

ndp15 ha scritto:Ora però fare tutto con la geometria analitica, sfruttando il fatto che tutte le coniche hanno equazione $ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $, mi pare quantomeno più problematico.
Sì, ma se consideri solo tutte le coniche che hanno come asse di simmetria l'asse x l'equazione si semplifica...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 20 dic 2009, 12:47

Avete ragione, semplicemente non ho provato nemmeno un secondo a ragionare sul problema, sbagliando ovviamente. Dopo pranzo vedrò di riparare risolvendolo, almeno si spera :roll:

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 20 dic 2009, 12:53

Non farti intimorire dall'"own", non ci scommetterei. Un enunciato del genere o è falso, o è noto.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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ghilu
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Messaggio da ghilu » 23 dic 2009, 10:41

Prendendo gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani le equazioni non hanno termini in xy (è la cosa fondamentale) dunque sono così:
$ f(x)+g(y)=a $
$ h(x)+i(y)=b $
Dove i quattro polinomi indicati hanno al massimo grado 2, dove il coefficiente del termine di grado 2 è, rispettivamente: F,G,H,I.
Sommando la prima equazione a "k" volte l'altra, si ottiene:
$ p(x)+q(y)=c $,
dove i polinomi hanno al massimo grado 2 e il coefficiente del termine di grado 2 è, rispettivamente:
F+kH e G+kI.
Per ottenere una circonferenza essi devono essere uguali:
$ k=\frac{F-G}{I-H} $.
Possibile se $ I\neq H $, nel qual caso la seconda equazione sarebbe già una circonferenza.
Si noti che non si ottiene una retta perché le intersezioni (volendo, complesse) sono 4.

A questa risoluzione si poteva pervenire:
-giocando con le equazioni;
-ragionando, come in 3°-4° di alcuni licei: studiare le intersezioni comuni a più coniche significa utilizzate il fascio di coniche (cioè combinazioni lineari).

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