inviluppo delle isogonali delle parabole per i vertici (Own)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Preso un triangolo ABC determinare l'inviluppo delle isogonali delle parabole passanti per A,B,C.

(l'isogonale di un luogo dato è il luogo dell'isogonale di tutti i punti del luogo dato)

[Anér]

Per ogni quaterna convessa di punti esistono due parabole che passano per essi; per trovarle basta risolvere il sistema di 5 equazioni, di cui la prima dice che il discriminante è uguale a 0, le altre che ognuno dei punti appartiene alla parabola; si intende che anche una coppia di rette parallele o coincidenti è una parabola degenere. A questo punto è evidente che tutto il piano è coperto dalle parabole per A, B, C tranne i punti interni al triangolo e quelli situati negli angoli opposti al vertice. Coniugando isogonalmente questo luogo va in sè.

[edriv]

Attento che l'inviluppo di un insieme di curve non è semplicemente l'insieme dato dalla loro unione.

Ora, io non so cos'è un inviluppo, ma dovrebbe essere qualcosa tipo "una curva che sia tangente a tutte le curve dell'insieme". Ad esempio, se prendiamo come insieme le rette tangenti a una data circonferenza, la loro unione ci dà (quasi) tutto il piano, ma l'inviluppo è solo la circonferenza.

Gabriel potrebbe essere così gggggggggggggentile da definirci decentemente cos'è un inviluppo!

[karl]

Per i vertici A,B,C del triangolo dato passano ovviamente infinite parabole.
Orbene la curva isogonale,rispetto al triangolo dato, di
ciascuna di queste parabole è una retta
che ,guarda caso , è tangente al circocerchio di ABC .
Pertanto l'inviluppo richiesto è proprio il circocerchio medesimo.
Se qualcuno è capace di dimostrare l'affermazione precedente in
rosso ,ha risolto il quesito...
[Almeno così l'ho interpretata io ].

[Anér]

Definirei come inviluppo di un insieme di linee la frontiera della loro unione; nel caso delle rette tangenti alla criconferenza viene la circonferenza; nel problema in questione l'inviluppo secondo me è l'insieme delle rette dei lati del triangolo; non penso che sia la circonferenza circoscritta perché come ho detto esistono parabole per A, B, C e qualsiasi quarto punto P scelto in modo che l'insieme A, B, C, P sia convesso. Se ogni parabola finisse in una retta tangente alla circonferenza circoscritta, allora nessuna parabola potrebbe passare per A, B, C e il coniugato isogonale di un punto che si trova all'internno di uno dei tre segmenti circolari che insieme al triangolo vero e proprio formano il cerchio; o almeno così mi pare!

[karl]

Il problema non chiede di trovare il coniugato isogonale di
ciascun punto del piano che contiene il triangolo ABC ma solo quello
di ciascuno dei punti di ogni parabola passante per A,B,C.
Ora accade che la corrispondenza che associa ad ogni punto del
piano il suo coniugato isogonale ( rispetto ad ABC) sia una
trasformazione quadratica involutoria nella quale ad una retta
corrisponde una conica e viceversa.In particolare alla retta
impropria del piano corrisponde il circocerchio di ABC.
Pertanto,presa la generica parabola passante per ABC,poichè essa è tangente alla retta
impropria ,saranno tangenti anche le curve corrispondenti loro isogonali.
Ma quali sono queste curve isogonali ? Sono la retta che corrisponde alla parabola ed il
circocerchio che , come detto , è il corrispondente della retta impropria.
Ergo, ad una parabola per A,B,C (tangente alla retta impropria)corrisponde una retta tangente al circocerchio
e dunque l'inviluppo richiesto è proprio il circocerchio.Tutte queste belle cose possono essere
reperite su Wikipedia all'indirizzo :
http://it.wikipedia.org/wiki/Circumconica

[Anér]

Ehm, effettivamente ho preso un granchio molto grande, cerco di rifare tutto in trilineari [x; y; z]

Ogni retta ha un'equazione della forma px+qy+rz=0; ogni conica ha invece un'equazione della forma px^2+qy^2+rz^2+sxy+tyz+uzx. La retta all'infinito ha equazione ax+by+cz=0 con a,b,c lati del triangolo. Il coniugato isogonale della retta px+qy+rz=0 è la conica pyz+qzx+rxy=0. Ogni conica passante per i vertici ha equazione di quest'ultima forma (infatti devono mancare i termini in x^2, y^2 e z^2), dunque il coniugato isogonale di una retta è una conica passante per A, B, C, e viceversa (a parte i casi degeneri delle rette dei lati). Dicesi parabola una conica tangente alla retta all'infinito. Allora ognuna delle parabole dell'insieme va in una retta tangente alla circonferenza circoscritta (è facile dimostrare che il coniugato isogonale di un punto sulla circonferenza circoscritta sta sulla retta all'infinito e viceversa), e viceversa ogni retta tangente alla circonferenza circoscritta proviene da una parabola per A,B,C. Il coniugato isogonale di una conica generica px^2+qy^2+rz^2+sxy+tyz+uzx è invece la quartica p y^2 z^2+q z^2 x^2+r y^2 z^2+s xy z^2+t zx y^2+u yz x^2.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Per i vertici A,B,C del triangolo dato passano ovviamente infinite parabole.
Orbene la curva isogonale,rispetto al triangolo dato, di
ciascuna di queste parabole è una retta
che ,guarda caso , è tangente al circocerchio di ABC .
Pertanto l'inviluppo richiesto è proprio il circocerchio medesimo.
Se qualcuno è capace di dimostrare l'affermazione precedente in
rosso ,ha risolto il quesito...
[Almeno così l'ho interpretata io ].

ehm sì, anche se in questo caso si sbriga facilmente...il viceversa? bisognerebbe dire che in ogni punto della crf la tangente è l'isogonale di una parabola.

[karl]

Gabriel ,quando sei disponibile e se nessuno posta altre
soluzioni in un tempo ragionevole,invia anche la tua soluzione.
Così ci metti tutti d'accordo !

[Anér]

bisognerebbe dire che in ogni punto della crf la tangente è l'isogonale di una parabola.

Già l'ho detto io nell'ultimo post (l'unico in cui dico cose vagamente sensate sul problema): l'isogonale di una retta px+qy+rz=0 è la conica pyz+qzx+rxy=0 che passa per i punti [1;0;0],[0;1;0],[0;0;1]. Poiché la retta originale era tangente alla cfr circoscritta, questa conica è tangente alla retta all'infinito, ovvero è una parabola. Se la retta iniziale è una tangente in un vertice del triangolo (mettiamo A), si ottiene una parabola degenere, ovvero una coppia di rette (la retta BC e la sua parallela per A).