Problema archimede 1998

[Willy67]

Siano date due cerchi tali che la circonferenza dell'uno passi per il centro dell'altro. Determinare l'area di intersezione dei due, se il raggio di ciascuna circonferenza è 1

[OriginalBBB]

Congiungendo il centro ai punti d'intersezione si vede che l'angolo relativo a quel settore circolare è di 120° e che quindi bisogna sottrarre l'area del triangolo equilatero di base 1 dalla terza parte dell'area del cerchio di raggio 1 e moltiplicare il resto per due.

[Willy67]

per quale motivo vedo l'immagine enorme?

[OriginalBBB]

Ho corretto, geogebra me l'aveva esportato in 5000x3000 pixels, nn sapevo facesse così di default

[Willy67]

Dunque allora. Innanzitutto come fai a dire che quello è un angolo di 120 gradi? poi: allora se tu trovi la terza parte della circonferenza di raggio 1 e togli da questa l'area di un triangolo equilatero di raggio 1 trovi: quella piccola sezione laterale esterna al triangolo verso destra e mezza parte della terza parte della circonferenza. se ora moltiplichi per due ti manca una "piccola sezione" esterna!

[Claudio.]

Dunque allora. Innanzitutto come fai a dire che quello è un angolo di 120 gradi? poi: allora se tu trovi la terza parte della circonferenza di raggio 1 e togli da questa l'area di un triangolo equilatero di raggio 1 trovi: quella piccola sezione laterale esterna al triangolo verso destra e mezza parte della terza parte della circonferenza. se ora moltiplichi per due ti manca una "piccola sezione" esterna!

Allora OCB è equilatero perchè i lati sono raggi, ODB è equilatero per lo stesso motivo, tu sai che gli angoli di un triangolo equilatero valgono 60°, 60°+60°=120° (COD(angolo) è la somma di due degli angoli dei triangoli)
Adesso prendi in considerazione solo il cerchio a sinistra, prendi in considerazione il settore circolare formato dai punti OCD puoi calcolarlo poichè conosci l'angolo, a quello sottrai l'area del triangolo OCD(triangolo), troverai l'area delimitata dalla corda e dall'arco CD, che è metà dell'intersezione.
Spero che mi sia spiegato bene.

Original ha invece tolto l'area del triangolo equilatero perchè in questo modo evita di calcolare CD.

[OriginalBBB]

Pensavo fosse evidente la cosa dei 120° Scusatemi allora. Pensa alla costruzione dell'esagono data la circonferenza circoscritta


Prendi il triangolo abc, per costruzione è equilatera, prendi abd, anche questa è equilatera, quindi l'angolo acd è di 120°

La terza parte della circonferenza, il settore di 120°, colorata in rosso ora, e possiamo pensarla fatta di due pezzi, il triangolo acd e la parte sottesa all'arco. La seconda ci serve e la teniamo, la prima la buttiamo tutta per poter poi moltiplicare la seconda per due. La prima parte quindi, il triangolo acd, e fatto di due pezzi che ricombinati ti danno il triangolo equilatero di lato 1. Togliamo quindi questi due pezzi del settore circolare e ci rimane la metà della nostra intersezione.

Tu avevi colto il triangolo sbagliato prima, ma anche in quel caso potevi vedere che la zona dell'arco vicino alla lettera e che ora è bianco bilanciava quello che dicevi veniva tolto

[Claudio.]

Ho editato, avevo letto male il post di BB
Comunque come ti ho detto io è visivamente pià facile, ma in una gara converrebbe il metodo di original, più veloce.
(Sai se si può colorare l'area di qualcosa in geogebra?)

[OriginalBBB]

Stiamo dicendo la stessa cosa.

Per colorare con geo gebra vai in proprietà.
Questo sopra però l'ho fatto con gimp.
Questo sotto invece in geogebra


Come puoi vedere l'area dei triangoli chiari è la stessa

[Willy67]

Sisi ora ho capito grazie mille. Non ci avevo pensato che si potesse calcolare in questo modo.. in effetti l'angolo è di 120 gradi in quanto somma di due angoli di due triangoli equilateri

[OriginalBBB]

In generale, quando due circonferenze sono secanti
Prendendo due circonferenze di ugual raggio (raggio unitario) al variare della distanza tra i centri, l'angolo sotteso alla corda che ha per estremi i due puntii d'intersezione equivale all'angolo che ha per coseno la metà distanza tra i due centri.

Fissando invece il passaggio per il centro, al variare dei raggi l'angolo dell' cerchio minore sotteso alla corda equivale al doppio dell'angolo che ha per coseno il rapporto tra la metà dellraggio minore e quello maggiore. Per l'angolo del cerchio maggiore invece basta vedere i triangoli isosceli e togliere a 360 il doppio dell'angolo trovato (o il quadruplo di quello di cui conosciamo il coseno), altrimenti detto, togliere a 180 l'angolo relativo al cerchio minore.