Il palazzo del Presidente

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iademarco
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Il palazzo del Presidente

Messaggio da iademarco » 28 nov 2009, 16:10

Affrontando questi problemi, ho trovato qualche difficoltà nel fare il 20

Problem:

Il palazzo presidenziale ha una storia molto lunga alle spalle, che soltanto poche persone ricordano. Infatti, quando gli architetti ricevettero l'incarico di progettarlo, scoprirono che per realizzare il cantiere avevano a disposizione 42 staccionate di legno di lunghezza rispettivamente 1, 2, 3, 4,...,42 Piedi Galattici (ovviamente un Piede Galattico è molto più lungo di un piede terrestre). Decisero quindi di costruire il cantiere formandone il perimetro con le varie staccionate a disposizione in modo che la supercie fosse la maggiore possibile. Il palazzo ha quindi tuttora la medesima forma, ovvero quella di un poligono di 42 lati. Al giorno d'oggi, per evitare le invasioni dei fans del Presidente (il quale in realtà non detiene il potere, ma serve solo a distogliere l'attenzione da coloro che ce l'hanno veramente), è stato vietato a chiunque di avvicinarsi al palazzo ad una distanza minore di 3 Piedi Galattici. Quanto vale l'area (fuori dal palazzo) che è preclusa ai visitatori?

Grazie anticipatamente delle risposte :D
"Il lemma fondamentale: se vi danno un esercizio è perchè potete farlo; se potete farlo è perchè è proprio facile; se è proprio facile è perchè servono delle cose che sapete; le cose che sapete sono pochissime, quindi avete da cercare in un insieme piccolissimo di cose" Michele Barsanti


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Iuppiter
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Messaggio da Iuppiter » 28 nov 2009, 16:50

Bello questo problema...io lo risolverei con delle considerazioni, fregandomi altamente di cercare di stabilire quale sia la forma del palazzo.

Considerazione 1 ==> Se prendo un qualsiasi poligono convesso (volendo anche con 2 lati (segmento)o 1 lato (punto)) con perimetro $ p $, l' area in cui la distanza da esso è minore di 3 piedi galattici è $ 3\cdot p + 3^2\pi $. Basta provare a fare qualche disegno per verificarlo.

Considerazione 2 ==> Il poligono è convesso perchè è richiesto il poligono con area maggiore. E quindi va benissimo quello che ho detto nella considrazione 1.

Quindi mi basta solo trovare il perimetro del poligono, che è la sommatoria da $ 1 $ a $ 42 $ $ \displaystyle = \frac{42\cdot 43}{2} $.

Applicando ciò che ho detto in precedenza $ \displaystyle A=3\cdot \frac{42\cdot 43}{2} + 9\pi $

La risposta è quindi: $ 2737 $

Spero che sia giusto.

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iademarco
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Messaggio da iademarco » 28 nov 2009, 22:14

Iuppiter ha scritto: La risposta è quindi: $ 2737 $

Spero che sia giusto.
Si si è giusto :D
La soluzione è chiarissima, grazie 1000
Iuppiter ha scritto: Bello questo problema...io lo risolverei con delle considerazioni, fregandomi altamente di cercare di stabilire quale sia la forma del palazzo.

Io non sono riuscito a risolverlo proprio perchè cercavo di stabilire quale fosse la forma del palazzo, complicandomi solamente la vita :roll:
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Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 03 dic 2009, 17:39

l' area in cui la distanza da esso è minore di 3 piedi galattici è $ 3\cdot p + 3^2\pi $.
Come sei arrivato a questa?

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Iuppiter
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Messaggio da Iuppiter » 04 dic 2009, 15:29

Sono arrivato a questa partendo da casi particolari e generalizzando.
Se provi a fare i casi vedi che è giusta.
Ad esempio in un triangolo equilatero il luogo dei punti che stanno a distanza minore di 3 dal perimetro è la somma di tre rettangoli con base il lato del triangolo e altezza 3, più tre terzi di cerchio in corrispondenza dei vertici del triangolo.

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