Dunque, eravamo rimasti qui:
Iuppiter ha scritto:Quindi basterebbe sapere quanto è la distanza dal (bari)centro di un tetraedro di lato 4000 ad un vertice, e poi aggiungere 2000 e moltiplicare per 2.
Well, cerchiamo questa distanza allora.
Prima di tutto cerco l'altezza del tetraedro.
Considero il triangolo che ha per vertici due vertici del tetraedro e il centro della base. Esso è rettangolo (perchè la retta passante per il vertice in alto e il centro della base è perpendicolare alla base). l'ipotenusa di questo triangolo è lo spigolo del tetraedro, che misura $ 4000 $. Il cateto minore, ovvero il segmento che congiunge il vertice del tetraedro appartenente alla base con il centro della base, misura $ \frac{2}{3} $ dell'altezza della faccia di base. Quest'altezza è una normale altezza di un triangolo equilatero, percui misura $ 4000\cdot \frac{\sqrt3}{2} $. Quindi la distanza tra centro della faccia di base e un vertice della stessa faccia è $ \frac{2}{3} \cdot 4000\cdot \frac{\sqrt3}{2} $. Con l'applicazione del teorema di pitagora si trova che l'altezza del trapezio misura $ \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot 4000 $.
Ora uniamo il centro del tetraedro con i vertici dello stesso. Otteniamo 4 piramidine più piccole tutte uguali. Consideriamo la piramidina che sta alla base e il tetraedro. Essi hanno la stessa base, ma il volume della piramidina è 1/4 di quello del tetraedro (perchè 4 piramidine formano un tetraedro), e quindi l'altezza di una piramidina sarà 1/4 di quella del tetraedro. Ora, a noi interessa la distanza tra il vertice in alto del tetraedro e il suo centro. Questa distanza è la differenza delle altezze, ovvero 3/4 dell'altezza del tetraedro, che abbiamo trovato prima.
Quindi la distanza centro-vertice del tetraedro è $ \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot 4000 = \sqrt6 \cdot 1000 $.
Come accennavo nell'altro messaggio, aggiungiamo $ 2000 $ a questa distanza e moltiplichiamo tutto per due. Il risultato è $ 8898 $se si fanno i conti con il computer (che tiene conto di più cifre) oppure $ 8899 $ (come nelle soluzioni, se si approssima $ \sqrt6 $ a $ 2,4495 $).
Mi scuso se è venuta un po' lunga e se ho scritto "trapezio" da qualche parte al posto di "tetraedro".
