OliForum Matematico

Tibor Gallai ha scritto:Hmm, onestamente ci sono un po' di ambiguità nella tua descrizione. Inoltre non capisco cosa è lungo x e cosa è lungo 1.[...]

$ AB $ è il segmento $ X $(cioé$ A $e$ B $ sono le estremità di $ X $).
Poi niente e lungo $ 1 $: per il punto $ F1 $intendevo un'altro punto($ G $,per esempio)
é chiaro?

Ops, mi ero perso l'ultima risposta di karlosson... Chiedo venia.

karlosson_sul_tetto ha scritto:niente e lungo 1

Ecco, questo è fondamentale. I dati del problema sono un segmento lungo x, e un segmento lungo 1. Infatti, nota che non avendo una scala graduata sul righello, non avendo assi cartesiani etc, ti è in genere impossibile dare una misura alle varie lunghezze, ma puoi solo confrontarle tra loro (dire qual è la maggiore, calcolare rapporti, etc).

Perché tra i dati del problema c'è un segmento lungo 1? Perché il rapporto tra x e $ $\sqrt x $ non è una costante, ma dipende da x. Nel Problema 1 non c'era bisogno di un'"unità di misura", perché il punto medio di un segmento è indipendente dalla scala in cui si misura il segmento. Stesso discorso per i problemi successivi...
Ma nel Problema 11 cambia tutto, perché variando l'unità di misura di x, varia anche la lunghezza di $ $\sqrt x $ in proporzione a x. Ovvero, tenendo fisso il segmento dato (inizialmente lungo x) ed aumentando l'unità di misura (il segmento lungo 1...), la lunghezza misurata scende, e passa da x a y (con y<x). Ma il segmento che prima era lungo $ $\sqrt x $, ora non sarà più lungo $ $\sqrt y $, bensì qualcosa di meno (precisamente $ $\frac y {\sqrt x} $).

In definitiva, il risultato della costruzione dipende dalla scala, e per questo è necessario usare anche il segmento lungo 1 fornito dal problema.

Problema 8
Traccio le parallele ad AB,AC per D, le chiamo x,y
Traccio la bisettrice tra x e DE, la chiamo z
Simmetrizzo y rispetto a z, la chiamo k
Ottengo che l'angolo tra DE e k è uguale a BAC
Faccio un ragionamento simile ma su E ed B (non D ed A) ottenendo anche la retta j per E
Le rette k,j si intersecano in F.
I triangoli ABC,DEF hanno 2 angoli uguali quindi sono simili

Problema 9
La costruzione funziona per questo teorema:
Date 3 circonferenza i centri omotetici (un numero pari deve essere interno quindi o 0 o 2) di queste prese a coppie sono allineati.
Chiamo a,b le cfr. e X,Y i loro centri
Traccio 2 tangenti a caso da a,b cioè c,d.
Traccio la bisettrice (dell'angolo "centrale rispetto alle cfr") tra le rette c,d.
*** Sceglo un punto P sulla bisettrice dalla stessa parte parte rispetto a dove si trovano le cfr.
XP incontra c in U, YP incontra d in V.
UV incontra XY in K
Traccio le tangenti da K ad a, queste sono tangenti anche a b perchè K è il centro omotetico esterno di a,b.

Se si vogliono trovare le tangenti esterne si fa lo stesso procedimento ma al *** si piazza P dalla parte opposta rispetto a dove si trovano le cfr.

Problema 10
Chiamo A,B,C i punti.
Individuo l'incentro I di ABC.
proietto I sui lati AB,BC,CA e trovo i punti X,Y,Z
Le circonferenze con centro A,B,C passanti per X,Y,Z rispettano le richieste.

Problema 11
Chiamo X,Y gli estremi del segmento lungo x.
Traslo il segmento lungo uno sulla semiretta contenente XY con origine X, in modo che un estremo vada su X, l'altro in Z.
Traccio la circonferenza di diametro YZ e la chiamo a
Traccio la tangente da X ad a che lo tange in U
Il segmento XU poichè la potenza di un punto è costante vale $ $ \sqrt{x} $ come chiedeva la tesi.

Per tracciare le tangenti, si può anche far così:

Consideriamo le due circonferenze di centri A, B, siano P,Q tali che AP e BQ sono raggi perpendicolari alla retta AB; sia R l'intersezione di PQ con AB. Tracciando da R le tangenti ad una delle due circonferenze si ottengono le tangenti comuni.

A seconda che P e Q siano dalla stessa parte di AB o da parti opposte, si ottengono le tangenti esterne o interne.

Problema 10
Costruire 3 circonferenze tangenti esternamente a due a due, e centrate in 3 punti dati.

allora (non ne sono sicura ma spero di sì), costruisco un triangolo con quei tre punti(A;B;C) e traccio tre bisettrici AA1, BB1, CC1.

la prima circonferenza avrà come centro A e raggio AB1, che e passerà anche per C1..
la stessa cosa analogamente faccio per C e B...
i punti A1;B1; C1 sono i punti di tangenza..



edit:preceduta di brutto!

io.gina93 ha scritto:Problema 10
Costruire 3 circonferenze tangenti esternamente a due a due, e centrate in 3 punti dati.

allora (non ne sono sicura ma spero di sì), costruisco un triangolo con quei tre punti(A;B;C) e traccio tre bisettrici AA1, BB1, CC1.

la prima circonferenza avrà come centro A e raggio AB1, che e passerà anche per C1..
la stessa cosa analogamente faccio per C e B...
i punti A1;B1; C1 sono i punti di tangenza..



edit:preceduta di brutto!

Temo che la tua costruzione abbia una piccola lacuna...

Sapevo che il mio inglese era pessimo, ma non credevo fino a questo punto...ma la presena di un IMO boy e dell'incarnazione della geometria in questo topic evidentemente mi smentiscono

Francutio ha scritto:Sapevo che il mio inglese era pessimo, ma non credevo fino a questo punto...ma la presena di un IMO boy e dell'incarnazione della geometria in questo topic evidentemente mi smentiscono

Saranno un po' dummies anche loro...
E' anche vero che non mi sono mosso tempestivamente per commentare i frutti della nuova linfa vitale che questo thread ha accolto.
Lo farò quanto prima, e proporrò dei problemi nuovi.

E va bene.
Per il problema 11 si poteva anche usare il secondo teorema di Euclide... Comunque entrambe le costruzioni permettono di ottenere il medio proporzionale tra due segmenti dati, e quindi di calcolare le radici quadrate, data l'unità di misura.

Tra le altre operazioni che è possibile fare con le lunghezze c'è anche la somma, la differenza (ovviamente), la moltiplicazione e la divisione:

Problema 12
Dato un segmento lungo 1, un segmento lungo x e un segmento lungo y, costruire un segmento lungo xy.

Problema 13
Dato un segmento lungo 1 e un segmento lungo x, costruire un segmento lungo 1/x.

Tibor Gallai ha scritto: Problema 12
Dato un segmento lungo 1, un segmento lungo x e un segmento lungo y, costruire un segmento lungo xy.

Provo con un approccio basato sulla soluzione del problema 11, anche se non mi lascia troppo convinto...

In figura:



Per Euclide I abbiamo $ $ {AB}^2 = xy $ da cui $ AB = \sqrt{xy} $.

A questo punto invertiamo la costruzione di Dario ed applicamo su $ $ AB $ per ottenere $ $ xy $.

Haile ha scritto:invertiamo la costruzione di Dario

Non ho capito in che modo.

Avevo pensato a questo:



AB è la radice, la retta su cui sta BC è arbitraria. Perpendicolare ad AB per A. Il punto d'incontro è centro per la circonferenza passante per A, mentre C lo piazzo sull'intersezione tra retta e circonferenza e pongo BC=1. Ora BE = AB²