SSSUP 2009 n 4: Arginare un incendio

[mrossi]

Un incendio, scoppiato in un certo punto P, si espande in maniera uguale in tutte le direzioni con velocità unitaria. I pompieri per fermarlo si dividono in squadre, le quali possono costruire delle barriere rettilinee, avanzando anch'essi con velocità unitaria (quindi uguale a quella del fuoco). Mentre le costruiscono, non devono essere raggiunte dal fuoco, mentre se il fuoco raggiunge un punto già costruito di una barriera, si ferma. I pompieri possono in ogni momento interrompere la costruzione di una barriera e spostarsi istantaneamente in un altro punto per iniziarne un altro.

I pompieri devono riuscire ad arginare l'incendio, ovvero a racchiuderlo in un perimetro di barriere in modo che non possa più propagarsi in nessuna direzione

a) Esiste una strategia con successo se si dispone di 8 squadre?
b) Esiste una strategia con successo se si dispone di 6 squadre?
c) Esiste una strategia con successo se si dispone di 4 squadre?

Sto andando a memoria, quindi può darsi che abbia scritto delle cavolate o scordato qualcosa, quindi se avete dubbi chiedete pure.

[karlosson_sul_tetto]

Ma la velocità dei pompieri è uguale a quella dell'incendio(cioè in un unita fanno n metri mentre il fuoco è avanzato di n metri)?

[mrossi]

si esatto, sono entrambe unitarie

[karlosson_sul_tetto]

Se la velocità dell' incendio è pari a quella dei pompieri,allora puo funzionare con 8 squadre:
Prendiamo un ottagono;ognuna delle squadre si occupa di un lato;circoscriviamo in questo ottagono un cerchio,il cui centro è l'inizio dell'incendio.Quindi se il lato è minore del raggio allora può funzionare.A me è uscito che il raggio è più grande.
Non so se esiste un altro metodo,ma con questo (metodo) nel caso di 6 e 4 non funziona.
Saluti!

[Tibor Gallai]

con questo (metodo) nel caso di 6 e 4 non funziona.

Occhio, questo non è propriamente vero!

[karlosson_sul_tetto]

è vero ,si puo fare anche sei(ma perche c***o mi è venuto un esagono non regolare?!?);infatti il lato di un esagono equivale al raggio,quindi l'incendio arrivera solo alla metà di un lato quando i pompieri hanno sorpassato la metà;cioè quando un gruppo arriverà all'altro vertice l'incendio pure arriverà all stesso vertice.(non so se mi sono espresso bene,mà è di solito che a quest'ora dico cretinate... )
Grazie per la correzione Tibor!!

[Tibor Gallai]

Ok... Per dimostrarlo in modo pulito, conviene dire che ogni punto di un lato di un triangolo equilatero è più distante dal vertice che non appartiene a quel lato (che nel nostro caso è il centro dell'incendio), rispetto agli altri 2 vertici.

Adesso, ignora per il momento il problema di 4 squadre. Riesci a farlo con 5?

[karlosson_sul_tetto]

Teoriticamente credo di no;praticamente non ho ancora provato(non riesco a fare un pentagono regolare... )

[karlosson_sul_tetto]

Mi è finalmente riuscito un pentagono regolare!
@TG credo che si può fare anche con 5 squadre;ma,come ho detto prima:

mà è di solito che a quest'ora dico cretinate...

Ci si vede!

[Tibor Gallai]

Allora ti dico che con 5 si può fare, ma se i poveracci provano a fare un pentagono regolare, si bruciano.
Devono essere un po' più scaltri.

[karlosson_sul_tetto]

Be a me è funzionato con il pentagono ma

mà è di solito che a quest'ora dico cretinate...

[Tibor Gallai]

No, direi che col pentagono regolare non c'è modo di farlo.

[karlosson_sul_tetto]

Si,è vero;se suddividiamo un pentagono regolare in 5 triangoli tutti uguali tra loro,i triangoli risultano isosceli.Grazie Tibor!!
(invece non riesco a capire quell'altro metodo...)

[Tibor Gallai]

Il motivo è che il perimetro del pentagono regolare è lungo più di 5 volte il raggio della circonferenza circoscritta. Quindi, comunque le 5 squadre uniscano i loro sforzi, prima che abbiano finito il perimetro del pentagono, il fuoco l'avrà già riempito tutto. In particolare, avrà raggiunto un punto del perimetro non ancora arginato.

Quindi, a parità di "raggio esterno", bisogna trovare un poligono con perimetro minore di 5 volte tale raggio... Naturalmente questa è solo una condizione necessaria affinché il poligono funzioni, perché le 5 persone devono anche riuscire a costruirlo senza essere bruciate strada facendo...

Buon lavoro!

[karlosson_sul_tetto]

Scusa Tibor mà con un quadrato viene che il perimetro è 8 volte più grande del raggio;e con un esagono il perimetro è 6 volte (circa) il raggio.Sei sicuro di non aver sbagliato qualcosa?