Cresce il poligono, cresce il perimetro

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edriv
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Cresce il poligono, cresce il perimetro

Messaggio da edriv » 06 ago 2009, 12:43

Se due figure convesse del piano sono contenute l'una nell'altra, la più grande ha perimetro maggiore.

Carino eh? :D
Figure è un termine un po' generico... dimostratelo per i poligoni che è praticamente equivalente.
Di questo problema c'è una bella soluzione giusto oltre il limite dell'"elementare", però potete sbizzarrirvi a trovare soluzioni elementari.

Ciao!

Pairo
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Messaggio da Pairo » 06 ago 2009, 16:12

Provo con una dimostrazione elementare :D

Lemma: dato un segmento AB, il percorso spezzato convesso $ {s_1} $ (da una stessa parte del piano rispetto ad AB) di estremi AB ha perimetro minore del percorso spezzato convesso $ {s_2} $ (dalla stessa parte rispetto ad AB) tale che $ {s_1} $ è interamente contenuto nell'area compresa tra $ {s_2} $ e AB.

Il lemma si può dimostrare per induzione sul numero di lati di $ {s_1} $ e applicando la disuguaglianza triangolare. Se $ {s_1} $ ha 2 lati, il lemma è evidente.
Supponiamo adesso che $ {s_1} $ abbia n+1 lati. Tracciamo allora dal vertice di $ {s_1} $ a distanza maggiore di AB la parallela r ad AB (chiamiamo questo vertice V): la retta r incontrerà la spezzata $ {s_2} $ in 2 punti P e Q; possiamo allora considerare le spezzate VB e VA su $ {s_1} $ che hanno al massimo n segmenti. Possiamo adesso applicare l'ipotesi induttiva e dimostrare il lemma.

Tornando al problema:

prendiamo una retta che passa per due vertici non adiacenti del perimetro più piccolo C e D. Questa incontrerà il perimetro del poligono più grosso in 2 punti E e F.
La retta tracciata divide entrambi i poligoni in 2 parti. Inoltre è facile verificare (disuguaglianza triangolare) che il perimetro del poligono più piccolo ha perimetro minore di quello che ha gli stessi vertici, ma E e F al posto di C e D (si noti che questo poligono è ancora contenuto nel poligono più grande perché questo è convesso).
A questo punto possiamo applicare il lemma sulle due parti in cui è stato diviso il poligono e abbiamo finito.

Ho dato un po' di cose per scontate, soprattutto nel lemma, per non appesantire troppo. Spero sia chiaro, comunque un disegno aiuta molto!

sprmnt21
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Re: Cresce il poligono, cresce il perimetro

Messaggio da sprmnt21 » 07 ago 2009, 00:25

edriv ha scritto:Se due figure convesse del piano sono contenute l'una nell'altra, la più grande ha perimetro maggiore.

Carino eh? :D
Figure è un termine un po' generico... dimostratelo per i poligoni che è praticamente equivalente.
Di questo problema c'è una bella soluzione giusto oltre il limite dell'"elementare", però potete sbizzarrirvi a trovare soluzioni elementari.

Ciao!
Direi che nelle ipotesi, si puo' allentare il fatto ceh il poligono esterno sia convesso.

Si traccia la retta che contiene uno dei lati del poligono pi(convesso) interno. Questa divide il poligono esterno pe in due parti eventualmente sconnesse, una contenente pi.Questo e' possibile essendo pi convesso. Dal problema originario possiamo passare a considerare quello in cui il nuovo pe sia la parte, delle delle due determinate prima, che contiene pi. Chiamiamo questo pe1. Il perimetro di pe1 e' evidentememente minore del perimetro di pe avendo sostituito una spezzata tra due punti con un segmento di retta. Si prosegue allo stesso modo, tracciando la retta di un diverso lato di pi, fino ad ottenere pen = pi. Si prova cosi la tesi.

drago90
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Messaggio da drago90 » 07 ago 2009, 12:15

ma funziona sempre anche se il poligono interno non è convesso?? :? :?
ok...ho riletto il testo... :oops: :oops:

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