Punti e cerchio

[Pairo]

Siano dati n punti in un piano tali che 3 di essi comunque presi siano interni ad un cerchio di raggio 1. Dimostrare che tutti gli n punti sono interni ad un cerchio di raggio 1.

[Natalino]

Si risolve molto in fretta usando il teorema di helly, però non so se c'è una dimostrazione furba più veloce..

[Pairo]

Si risolve molto in fretta usando il teorema di helly

Cos'è??

Comunque la mia dimostrazione è lunga e pedante; immagino che questo sia un problema standard e l'ho postato perché magari qualcuno degli utenti esperti può dirmi se c'è un modo veloce e bello per risolvere il problema, perché io non sono riuscito a trovarlo ( e scusatemi nel caso il problema sia già stato postato, non l'ho trovato)

[iademarco]

Si risolve molto in fretta usando il teorema di helly

Cos'è??

Teorema di helly:
Siano date n figure convesse piane; se 3 di esse, comunque prese, hanno un punto in comune, allora le n figure hanno un punto in comune.

Nello spazio invece, bisogna che quattro solidi convessi, comunque presi, abbiamo un punto in comune.

[Tibor Gallai]

Dò un hint per una soluzione alternativa a quella con Helly (che tra l'altro mi piacerebbe vedere...).

La figura mostra che è sufficiente risolvere il problema nel caso n=4, il quale si riduce ad un lemma geometrico, secondo cui l'area grigia è sempre contenuta in un'opportuna circonferenza (rossa).

[kn]

( Qui un tempo c'era una cazzata... )
Bonus (più facile ): Siano dati n punti in un piano tali che 3 di essi comunque presi giacciano su una retta. Dimostrare che tutti gli n punti giacciono su una retta.
Per una discussione a riguardo v. anche qui

[Tibor Gallai]

Hint x una soluzione ancora più semplice: per ogni terna di punti allineati togliere quello di mezzo, quindi considerare la circonferenza massima tra quelle circoscritte ad ogni terna di punti...

Non capisco l'hint... Cosa ne fai della circonferenza massima?

[Pairo]

A quanto pare anche la mia soluzione faceva uso del teorema di Helly ;
consideravo l'involucro convesso degli n punti, e poi consideravo le circonferenze di raggio 1/2 da ogni punto dell'involucro che per ipotesi, prese tre a tre, hanno un punto in comune. Grazie Tibor Gallai per la figura! Neanch'io capisco l'hint comunque..

[Tibor Gallai]

circonferenze di raggio 1/2 da ogni punto dell'involucro

Credo di raggio 1... Ed è sufficiente prenderle per ognuno degli n punti, non per tutti quelli dell'involucro.
Bella, però!!

[Maioc92]

Bonus (più facile ): Siano dati n punti in un piano tali che 3 di essi comunque presi giacciano su una retta. Dimostrare che tutti gli n punti giacciono su una retta.

ho guardato il post linkato da tibor e la prima soluzione che mi è venuta in mente (probabilmente sbagliata però,visto che nessuno l'ha proposta come soluzione) è questa:
consideriamo 3 punti qualsiasi (diciamo A,B,C), per ipotesi questi punti stanno su una retta. Ora,questa retta è univocamente determinata anche da soli 2 punti di questi 3(diciamo A,B). Ora consideriamo tutti gli altri punti uno per uno insieme ad A e B: sempre per ipotesi ognuno di questi punti sta sulla stessa retta passante per A,B e quindi stanno tutti su un'unica retta.
Dov'è che sbaglio?

[Tibor Gallai]

Dov'è che sbaglio?

Non sbagli, è che i 2 problemi si assomigliano, ma sono in realtà diversi... E questo è enormemente più facile dell'altro (che per la cronaca era il classico di Sylvester).
Quindi ho sbagliato io ad identificare il problema, mea culpa. Cancello il link per non creare altra confusione.

[Maioc92]

ah ok!!Ero sicuro di aver sbagliato perchè mi sembrava troppo ovvia come soluzione e quindi era strano che nessuno ci avesse pensato,ma se il problema è diverso allora si spiega tutto.Grazie per il chiarimento

[Tibor Gallai]

Per una discussione a riguardo v. anche qui

Ma... LOL, io tolgo il link errato dal mio post, e tu lo aggiungi nel tuo?
I 2 problemi (quello che poni e quello di Sylvester) sono simili nella formulazione, ma molto diversi come difficoltà. Quello che poni è banale (come giustamente osservi, e come dimostra Maioc92); quello di Sylvester ha impegnato matematici famosissimi per qualcosa come 50 anni.
Purtroppo ho fatto un po' di confusione all'inizio perché ho letto il testo distrattamente... E la cosa sembra aver scatenato una reazione a catena.

[kn]

Bonus (più facile ): Siano dati n punti in un piano tali che 3 di essi comunque presi giacciano su una retta. Dimostrare che tutti gli n punti giacciono su una retta.

Dipende tutto da come interpretate quell'una... Io intendevo riproporre Sylvester per l'ennesima volta per farci scervellare sopra chi non lo conoscesse ancora, ma per fortuna l'avete inteso in un altro modo

[Tibor Gallai]

Dipende tutto da come interpretate quell'una... Io intendevo riproporre Sylvester per l'ennesima volta per farci scervellare sopra chi non lo conoscesse ancora, ma per fortuna l'avete inteso in un altro modo

In quali altri modi lo si può interpretare?