Cosa si può dire su questi triangoli.
Cosa si può dire su questi triangoli.
Un giorno mi sono messo a disegnare e definire punti a caso data una circonferenza.
Sono saltate fuori un pel po' di coincidenze...
Non sono un gran frequentatore del forum, pertanto non so se siano mai stati postati problemi simili; di conseguenza persenterò una quantità di tesi > "sterettamente" di 1.
Definizioni
Sia $ ABC $ un triangolo inscritto in una circonferenza $ W $ di centro $ O $.
Diciamo che le bisettrici interne del triangolo intersecano $ W $ in $ A_1, B_1, C_1 $ rispettivamente.
Analogamente le bisettrici esterne intersecano $ W $ in $ A_2, B_2, C_2 $ rispettivamente (se si vuole, si possono definire questi punti come i simmetrici di $ A_1, B_1, C_1 $ rispetto ad $ O $).
Sia $ A_3 $ il simmetico di $ A_1 $ rispetto a $ BC $.
Si definiscano $ B_3 $ e $ C_3 $ in modo analogo (rispetto a $ CA $ ed $ AB $).
Sia $ I $ l'incentro di $ ABC $.
Siano $ H, H_1, H_3 $ gli ortocentri rispettivamente di $ ABC $, di $ A_1B_1C_1 $ e di $ A_3B_3C_3 $.
Sia $ O_3 $ il circocentro di $ A_3B_3C_3 $.
Siano $ F, F_3 $ i centri delle circonferenze di Feuerbach di $ ABC $ e $ A_3, B_3 C_3 $.
Siano $ L(AB_1), L(BC_1), L(CA_1), L(AB_2), L(BC_2), L(BC_3) $ i punti d'intersezione, rispettivamente, di: $ A_3B_3 $ con $ A_1B_1 $, $ B_3C_3 $ con $ B_1C_1 $, ... , $ A_3B_3 $ con $ A_2B_2 $, ..., ... .
Siano, infine, $ K_1 $ e $ K_2 $ così definiti: $ K_1 $ sia il punto di tangenza fra la circonferenza inscritta in $ ABC $ e la sua circonferenza di Feuerbach (sì, sono tangenti -quella inscritta internamente a quella di Feuerbach- ed è sia fatto noto che buon esercizio da svolgere); $ K_2 $ sia il simmetrico di $ K_1 $ rispetto a $ F $ .
Cosa si può dimostrare.
(a) I triangoli $ A_1B_1C_1 $, $ A_2B_2C_2 $ e $ A_3B_3C_3 $ sono simili (formulato e dimostrato in collaborazione con Aner).
(b) $ H, A_3, B_3, C_3 $ sono conciclici (è caso particolare di un esercizio di uno Stage a Pisa di non tanto tempo fa).
(c) $ I, H_1 $ e $ H_3 $ coincidono (la prima coincidenza è piuttosto facile da notare).
(d) $ O, I, H, O_3 $formano un parallelogramma
(con tutto ciò che ne consegue, ad esempio:
$ F $ e $ F_3 $ coincidono;
il punto medio fra $ I $ ed $ H $ appartiene alla circonferenza di Feuerbach di $ A_3B_3C_3 $;
il rapporto fra le aree di $ A_1B_1C_1 $ e $ A_3B_3C_3 $ è $ 4\frac{OI^{2}}{IF^{2}} = 2\frac{R}{IF} $ , essendo $ R $ il raggio di $ W $.
(e) $ L(AB_1), L(BC_1), L(CA_1) $ [ e anche, analogamente, $ L(AB_2), L(BC_2), L(CA_2) $ ] sono allineati su una stessa retta, che chiameremo $ L_1 $ [allo stesso modo chiameremo $ L_2 $ la retta degli altri 3 punti ].
(f) $ L_1 $ e $ L_2 $ sono parallele fra loro.
(g) $ L_1 $ ed $ L_2 $ sono tangenti alla circonferenza di Feuerbach di $ ABC $ in $ K_1 $ e $ K_2 $ rispettivamente.
(Ciò implica tante altre considerazioni, per esempio che $ L_1 $ ed $ L_2 $ sono perpendicolari alla retta di Eulero di $ A_3B_3C_3 $;
oppure che, se conduciamo per $ O $ la retta parallela a $ F_3H_3 $ e la intersechiamo con $ W $ trovando $ X_1 $ e $ X_2 $, allora $ L_1 $ e $ L_2 $ passano per i punti medi rispettivamente di $ HX_1 $ e $ HX_2 $ -che sarebbero $ K_1 $ e $ K_2 $-;
oppure ancora: la distanza fra $ L_1 $ ed $ L_2 $ non varia al variare di $ A, B, C $ su $ W $.)
Comunque dei punti (f) e (g) non possiedo ancora una dimostrazione semplice o sintetica, ma una mooolto calcolosa.
Chiunque volesse esprimere belle (ma anche no) dimostrazioni di qualcuno dei punti oppure notasse qualcosa di nuovo nella figura, scriva![/tex]
Ultima modifica di ghilu il 01 lug 2009, 01:56, modificato 7 volte in totale.
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Cominciamo con un fatto più generale che generalizza (a), (b), (c):
Sia ABC un triangolo, P un punto e A'B'C' il triangolo circumceviano di P rispetto a ABC (A' sulla crf circoscritta a ABC tale che A',P,A sono allineati etc), Sia A'' il simmetrico di A' rispetto a BC e cicliche. Dimostrare che A'B'C' sono simili con una similitudine indiretta di centro P.
Provare inoltre che i triangoli A'B'C' e A''B''C'' sono ortologici e che i due centri ortologici stanno sulle crf circoscritte a A'B'C' e A''B''C''.
Sia ABC un triangolo, P un punto e A'B'C' il triangolo circumceviano di P rispetto a ABC (A' sulla crf circoscritta a ABC tale che A',P,A sono allineati etc), Sia A'' il simmetrico di A' rispetto a BC e cicliche. Dimostrare che A'B'C' sono simili con una similitudine indiretta di centro P.
Provare inoltre che i triangoli A'B'C' e A''B''C'' sono ortologici e che i due centri ortologici stanno sulle crf circoscritte a A'B'C' e A''B''C''.
Ultima modifica di ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ il 10 lug 2009, 13:53, modificato 1 volta in totale.
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Wow! Non mi aspettavo un così rapido e importante sviluppo del problema!
Apprezzo molto la generalizzazione di Gabriel e credo che mi cimenterò nel dimostrarla in futuro (prima vengono altri impegni e la lettura delle definizioni di alcuni termini).
Qualcuno vuol dire qualcosa sulle due rette (L_1 e L_2) tangenti alla circonferenza di Feuerbach ? (non ho ancora controllato se questa proprietà possa derivare banalmente dalla generalizzazione Gabrieliana)
Apprezzo molto la generalizzazione di Gabriel e credo che mi cimenterò nel dimostrarla in futuro (prima vengono altri impegni e la lettura delle definizioni di alcuni termini).
Qualcuno vuol dire qualcosa sulle due rette (L_1 e L_2) tangenti alla circonferenza di Feuerbach ? (non ho ancora controllato se questa proprietà possa derivare banalmente dalla generalizzazione Gabrieliana)
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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(f)$ A_1B_1C_1 $ e $ A_3B_3C_3 $ sono ortlogici e perspettici con entro O, così come $ A_2B_2C_2 $ e $ A_3B_3C_3 $.
Il centro ortologico esterno tra R $ A_1B_1C_1 $ e $ A_3B_3C_3 $sta su W some detto in precedenza e pure S, quello di $ A_2B_2C_2 $ e $ A_3B_3C_3 $. Inoltre consideriamo $ A_2SA_1R $, esso ha due angoli opposti retti e due lati opposti paralleli, quind è un rettangolo, quindi O,S,R sono allineati. Ma per il Teorema di Sondat sui triangoli ortologici $ A_1B_1C_1 $ e $ A_3B_3C_3 $, la loro perspettrice $ L_1 $ è perpendicolare a OR e ugualmente per il Teorema di Sondat su $ A_2B_2C_2 $ e $ A_3B_3C_3 $ la loro perspettrice $ L_2 $ è perpendicolare a OS, OS e OR sono parallele, quindi $ L_1 \parallel L_2 $.
Per il (g) semmai ci provo quando ho più tempo, comunque ho visto che è vero.
Il centro ortologico esterno tra R $ A_1B_1C_1 $ e $ A_3B_3C_3 $sta su W some detto in precedenza e pure S, quello di $ A_2B_2C_2 $ e $ A_3B_3C_3 $. Inoltre consideriamo $ A_2SA_1R $, esso ha due angoli opposti retti e due lati opposti paralleli, quind è un rettangolo, quindi O,S,R sono allineati. Ma per il Teorema di Sondat sui triangoli ortologici $ A_1B_1C_1 $ e $ A_3B_3C_3 $, la loro perspettrice $ L_1 $ è perpendicolare a OR e ugualmente per il Teorema di Sondat su $ A_2B_2C_2 $ e $ A_3B_3C_3 $ la loro perspettrice $ L_2 $ è perpendicolare a OS, OS e OR sono parallele, quindi $ L_1 \parallel L_2 $.
Per il (g) semmai ci provo quando ho più tempo, comunque ho visto che è vero.
!).Punto (b).
Vedrere _ Stage Senior 2008 - geometria - sessione 3,5 - avanzata _ ove veniva risolto il seguente esercizio:
Siano dati $ ABC $ inscritto in $ \Gamma $ ed un punto $ P $, il cui triangolo circumceviale sia $ A_1B_1C_1 $.
Sia $ A_3 $ il simmetrico di $ A_1 $ rispetto a $ BC $ -oppure rispetto al punto medio di $ BC $, tanto la dimostrazione è identica- (e cicliche).
Allora l'ortocentro di $ ABC $ è conciclico con $ A_3B_3C_3 $.
Non starò a ripetere la dimostrazione.
Vedrere _ Stage Senior 2008 - geometria - sessione 3,5 - avanzata _ ove veniva risolto il seguente esercizio:
Siano dati $ ABC $ inscritto in $ \Gamma $ ed un punto $ P $, il cui triangolo circumceviale sia $ A_1B_1C_1 $.
Sia $ A_3 $ il simmetrico di $ A_1 $ rispetto a $ BC $ -oppure rispetto al punto medio di $ BC $, tanto la dimostrazione è identica- (e cicliche).
Allora l'ortocentro di $ ABC $ è conciclico con $ A_3B_3C_3 $.
Non starò a ripetere la dimostrazione.
Punto (a).
Lavoriamo con i complessi.
Fatto importante
"Esistono complessi $ u,\ v,\ w $ tali che:
$ A=u^2\ B=v^2\ C=w^2\ A_1=-vw\ B_1=-wu\ C_1=- uv $
e $ |u|=|v|=|w|=1 $, senza perdita di generalità.
(Dimostrazione immediata)
$ A_3 $ si ottiene così (gli altri si ottengono ciclicamente:
punto medio di $ BC=\frac{v^2+w^2}{2} $
Applico la simmetria centale di $ A_1 $ rispetto a tale punto medio trovando
$ A_3 = v^2 + w^2 + vw $
Scriviamoci $ A_1B_1 $ e $ A_3B_3 $ (gli altri si ottengono ciclicamete).
$ A_1-B_1=-vw+wu = w(u-v) $
$ A_3 - B_3 = v^2 + w^2+ vw -w^2-u^2-uw =v^2 - u^2 + vw - uw = -(u-v)(u+v+w) $
Allora il rapporto fra i moduli dei lati è:
$ \frac{|w(u-v)|}{|-(u-v)(u+v+w)|}| = \frac{|-w|}{|u+v+w|} = \frac{1}{|u+v+w|} $,
che è simmetrica in $ u,\ v,\ w $.
Lavoriamo con i complessi.
Fatto importante
"Esistono complessi $ u,\ v,\ w $ tali che:
$ A=u^2\ B=v^2\ C=w^2\ A_1=-vw\ B_1=-wu\ C_1=- uv $
e $ |u|=|v|=|w|=1 $, senza perdita di generalità.
(Dimostrazione immediata)
$ A_3 $ si ottiene così (gli altri si ottengono ciclicamente:
punto medio di $ BC=\frac{v^2+w^2}{2} $
Applico la simmetria centale di $ A_1 $ rispetto a tale punto medio trovando
$ A_3 = v^2 + w^2 + vw $
Scriviamoci $ A_1B_1 $ e $ A_3B_3 $ (gli altri si ottengono ciclicamete).
$ A_1-B_1=-vw+wu = w(u-v) $
$ A_3 - B_3 = v^2 + w^2+ vw -w^2-u^2-uw =v^2 - u^2 + vw - uw = -(u-v)(u+v+w) $
Allora il rapporto fra i moduli dei lati è:
$ \frac{|w(u-v)|}{|-(u-v)(u+v+w)|}| = \frac{|-w|}{|u+v+w|} = \frac{1}{|u+v+w|} $,
che è simmetrica in $ u,\ v,\ w $.
I puntii (c) e (d) vengono bene con i complessi.
Punto (c)
$ I $ = $ H_1 $: si verifica con un facile angle chasing.
$ H_1 $ = $ H_3 $.
Calcoliamo $ H_1 $ sfruttando il fatto che il circocentro di $ A_1B_1C_1 $ sia $ O = 0 $ (sfrutto la nomenclatura definita qualche messaggio più su):
$ H_1 =A_1 + B_1 + C_1 = -uv-vw-wu $
Verifichiamo che è pure l'ortocentro di $ A_3B_3C_3 $ sfruttando il seguente fatto generale:
"Dato un triangolo di vertici complessi $ a,b,c $, l'altezza uscente da$ a $ è il luogo dei punti $ x $ tali che $ xa \perp bc $.
Quindi: $ \displaystyle (x-a)\bar{(b-c)} + \bar{(h-a)}(b-c) = 0 $"
Nel nostro caso $ (x,\ a,\ b,\ c) $ è $ (-uv-vw-wu,\ v^2+vw + w^2,\ \ldots, \ldots) $.
$ \displaystyle(-uv-vw-wu-v^2-vw-w^2)\bar{(u^2+uw+w^2-u^2-uv-v^2)}= -(w+v)(u+v+w)\bar{(w-v)(u+v+w)} $
Allora $ \displaystyle (x-a)\bar{(b-c)} + \bar{(h-a)}(b-c) = $
$ -(u+v+w)\bar{(u+v+w)}\cdot [(w+v)\bar{(w-v)} + (w-v)\bar{(w+v)}] $
Il terzo fattore è, come si voleva:
$ w\bar{w} - w\bar{v} +v\bar{w}-v\bar{v} + w\bar{w} + w\bar{v} -v\bar{w}-v\bar{v}= w\bar{w}-v\bar{v} = 1-1=0 $.
Punto (c)
$ I $ = $ H_1 $: si verifica con un facile angle chasing.
$ H_1 $ = $ H_3 $.
Calcoliamo $ H_1 $ sfruttando il fatto che il circocentro di $ A_1B_1C_1 $ sia $ O = 0 $ (sfrutto la nomenclatura definita qualche messaggio più su):
$ H_1 =A_1 + B_1 + C_1 = -uv-vw-wu $
Verifichiamo che è pure l'ortocentro di $ A_3B_3C_3 $ sfruttando il seguente fatto generale:
"Dato un triangolo di vertici complessi $ a,b,c $, l'altezza uscente da$ a $ è il luogo dei punti $ x $ tali che $ xa \perp bc $.
Quindi: $ \displaystyle (x-a)\bar{(b-c)} + \bar{(h-a)}(b-c) = 0 $"
Nel nostro caso $ (x,\ a,\ b,\ c) $ è $ (-uv-vw-wu,\ v^2+vw + w^2,\ \ldots, \ldots) $.
$ \displaystyle(-uv-vw-wu-v^2-vw-w^2)\bar{(u^2+uw+w^2-u^2-uv-v^2)}= -(w+v)(u+v+w)\bar{(w-v)(u+v+w)} $
Allora $ \displaystyle (x-a)\bar{(b-c)} + \bar{(h-a)}(b-c) = $
$ -(u+v+w)\bar{(u+v+w)}\cdot [(w+v)\bar{(w-v)} + (w-v)\bar{(w+v)}] $
Il terzo fattore è, come si voleva:
$ w\bar{w} - w\bar{v} +v\bar{w}-v\bar{v} + w\bar{w} + w\bar{v} -v\bar{w}-v\bar{v}= w\bar{w}-v\bar{v} = 1-1=0 $.