simulazione cesenatico roma - ex 2

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Veluca
Messaggi: 185
Iscritto il: 27 dic 2008, 01:08
Località: Chiavari (Genova)

simulazione cesenatico roma - ex 2

Messaggio da Veluca » 05 mag 2009, 23:12

premesso che io l'ho fatto con la geometria analitica, vorrei sapere una dimostrazione che usi la geom sintetica

Sia ABC un triangolo isoscele, rettangolo in C. Siano Γ e γ, rispettivamente, la circonferenza circoscritta ad ABC e la
circonferenza inscritta in ABC. Sia infine P Q la corda di Γ, diversa dal diametro, parallela ad AB e tangente a γ.
Mostrare che esiste un punto R su Γ tale che il triangolo PQR ha γ come circonferenza inscritta.

Avatar utente
Anér
Messaggi: 722
Iscritto il: 03 giu 2008, 21:16
Località: Sabaudia

Messaggio da Anér » 07 mag 2009, 11:52

Togliamo un po' di ipotesi, sia ABC un triangolo, e siano Γ e γ le circonferenze circoscritta ed inscritta ad ABC. Sia PQ una corda di Γ tangente a γ. Dimostriamo che esiste S tale che PQS ha Γ come circoscritta e γ come inscritta.
Detto O il centro di Γ e I il centro di γ, si ha che OI^2=R^2-2rR, dove R è il raggio di Γ e r quello di γ, perché O e I sono circocentro e incentro nel triangolo ABC.
Come è noto, fissati due punti D e E su una circonferenza Γ e facendo variare F su uno degli archi DE, il luogo degli incentri è l'arco di circonferenza che ha come centro il punto medio dell'arco DE opposto a quello su cui varia F e che va da D a E.
A questo punto prendiamo il punto medio dell'arco PQ che non contiene γ, chiamiamolo M, e tracciamo l'arco PQ di centro M. Se I fa parte di questo arco di centro M, allora esiste un triangolo PQS di incentro I, ma poiché PQ è tangente a γ, si avrebbe che γ è proprio la circonferenza inscritta, e avremmo trovato S.
Se per assurdo I non fa parte di tale arco di centro M, allora possiamo tracciarae l'arco di centro M e raggio MI, che interseca Γ in P' e Q'; si vede facilmente che le rette PQ e P'Q' sono parallele. A questo punto si ha che I è uno degli incentri dei triangoli P'Q'S con S che varia sull'arco P'Q' opposto a M. Detto r' il raggio inscritto a tale triangolo di centro I, si avrà OI^2=R^2-2r'R, ma ciò è assurdo perché sopra avevamo trovato OI^2=R^2-2rR.
Sono il cuoco della nazionale!

Rispondi