Non difficilissimo, ma mi è sembrato carino facendo la gara a squadre:
In un triangolo ABC, per ogni punto P intero al triangolo definiamo D,E,F le sue tre proiezioni sui lati. Trovare il punto che massimizza $ PD\cdot PE\cdot PF $
Gara a squadre di roma
Visto che è rimasto senza risposte...
Premessa :è facile dimostrare con AM-GM che se n (>=2) variabili positive hanno
somma costante il loro prodotto è massimo se esse prendono uguale valore .
Per semplicità di scrittura indico con x,y,z le tre distanze PD,PE,PF ,
con a,b,c i lati su cui esse cadono rispettivamente e con S l'area di ABC.
Allora si ha:
$ \displaystyle xyz=\frac{1}{abc}[(ax)(by)(cz)] $
Ora $ \displaystyle ax+by+cz =2S=costante $ e dunque il prodotto
in questione diventa massimo per $ \displaystyle ax=by=cz $ ovvero
quando i triangoli APB,BPC,CPA sono equiestesi .E ciò avviene
se $ \displaystyle P\equiv G $ essendo G il baricentro del triangolo.
Per completezza tale massimo è $ \displaystyle \frac{8S^3}{27abc} $
Premessa :è facile dimostrare con AM-GM che se n (>=2) variabili positive hanno
somma costante il loro prodotto è massimo se esse prendono uguale valore .
Per semplicità di scrittura indico con x,y,z le tre distanze PD,PE,PF ,
con a,b,c i lati su cui esse cadono rispettivamente e con S l'area di ABC.
Allora si ha:
$ \displaystyle xyz=\frac{1}{abc}[(ax)(by)(cz)] $
Ora $ \displaystyle ax+by+cz =2S=costante $ e dunque il prodotto
in questione diventa massimo per $ \displaystyle ax=by=cz $ ovvero
quando i triangoli APB,BPC,CPA sono equiestesi .E ciò avviene
se $ \displaystyle P\equiv G $ essendo G il baricentro del triangolo.
Per completezza tale massimo è $ \displaystyle \frac{8S^3}{27abc} $