quadrilatero armonico

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piever
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quadrilatero armonico

Messaggio da piever » 22 feb 2009, 14:19

Ebbene sì, ogni tanto anch'io tento un problema di geometria... Ho provato per una mattinata a farne uno e non mi è neanche lontanamente venuto, ma in compenso è saltato fuori un lemma estremamente interessante (che dovrebbe essere vero, ma non fidatevi troppo):

Sia ABCD un quadrilatero ciclico di centro O. Sia P l'intersezione delle diagonali AC e BD. Siano X e Y rispettivamente le proiezioni di P su AB e CD. Sia Z l'inverso di P rispetto alla circonferenza circoscritta a ABCD.

Dimostrare che XPYZ è un quadrilatero armonico.

Buona fortuna!
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Federiko
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Messaggio da Federiko » 22 feb 2009, 20:38

Facocero! Potresti anche dare la definizione di quadrilatero armonico, no?? mmm.. 6 una stoppia!!
CUCCIOLO

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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 22 feb 2009, 21:12

qui ci trovi la definizione e qualche proprietà interessante.

stefanos
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Messaggio da stefanos » 22 feb 2009, 22:06

Federiko ha scritto:Facocero! Potresti anche dare la definizione di quadrilatero armonico, no?? mmm.. 6 una stoppia!!
Esiste google. Ma quante stoppie ci sono !?
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Messaggio da FeddyStra » 23 feb 2009, 15:48

Chiamiamo $ \Gamma $ la circonferenza circoscritta ad $ ABCD $ e sia $ Q=AB\cap CD $. La polare di $ P $ rispetto a $ \Gamma $ è la retta $ QZ $, quindi $ QZ\perp OP=PZ $. Dal momento che $ \widehat{PXQ}=\widehat{PYQ}=\widehat{PZQ}=90° $ si ha che i punti $ P,Q,X,Y,Z $ giacciono su una circonferenza $ \Omega $ di diametro $ PQ $. Con centro in $ Q $, proiettiamo i punti $ P,X,Y,Z $ sulla retta $ BD $. Allora $ P\to P,\ X\to B,\ Y\to D,\ Z\to E=QZ\cap BD $. Per il lemma della polare $ (P:E:B:D)=-1 $, quindi anche $ (P:Z:X:Y)=-1 $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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Messaggio da Federiko » 23 feb 2009, 16:35

stoppia ha scritto:Ma quante stoppie ci sono !?
Beh le stoppie sono $ 3\cdot 2^n +1 $ (pietro), ma la stoppia principale sei sempre tu!
stoppia ha scritto:Esiste Google.
Beh se lo scrivo qui possono saperlo molti altri utenti del forum, no?? Ma come ragioni?! E poi con Google non avrei i link di Gabriel :D E già che ci sono, Feddy, o qualcuno per lui, cosa sono (P : E : B : D) e (P : Z : X : Y)? Grazie :D e non ho bisogno di commenti sarcastici sulla mia ignoranza, grazie Pietro e Stoppia :x
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Messaggio da FeddyStra » 23 feb 2009, 17:20

[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da piever » 23 feb 2009, 22:47

@ Feddy: simpatica soluzione! Tra l'altro quel maledetto punto Z ha un sacco di proprietà (ad esempio ZADQ e ZBCQ sono ciclici..)... Il problema originale (che dopo giorni e giorni di duro lavoro, prevalentemente inutile, sono riuscito a risolvere) lo posto in un altro topic in geometria....

EDIT: Uhm, mi sono reso conto che in effetti ho fatto un certo casino con i vari modi in cui era possibile definire Z, e in effetti la cosa più interessante da dimostrare (definendo sempre Z come l'inverso di P) è che i quadrilateri ZADQ e ZBCQ sono ciclici!

Buona fortuna e buon martedì grasso!
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