masochismo trigonometrico

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julio14
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masochismo trigonometrico

Messaggio da julio14 » 27 nov 2008, 23:10

Un mio amico con chiare tendenze suicide, mi ha proposto questo simpatico problema: trovare una formula generale per esprimere $ $sin(n\alpha) $ e $ $cos(n\alpha) $ in funzione di $ $sin(\alpha) $ e $ $cos(\alpha) $. Mentre io provavo a trovare un metodo generale per fare 'sti maledetti conti, un'induzione o qualcosa del genere, lui molto allegramente calcolava cose come $ $sin(9\alpha) $. Come era prevedibile, si trovano parecchie simmetrie, a volte sfocianti nella numerologia, ma i numeri e i conti aumentano a vista d'occhio. Io ho trovato una semistrada, devo però ancora riordinarla e non sembra una cosa facile. Qualcuno ha un'idea decente (spero più della mia)?
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jordan
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Messaggio da jordan » 28 nov 2008, 00:41

$ \displaystyle 2\cos x={e^{ix}+e^{-ix}} $? :roll:
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 28 nov 2008, 02:07

oppure
$ $\cos{nx}=\Re{[e^{inx}]}=\Re{[\left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^n]}=... $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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fph
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Messaggio da fph » 28 nov 2008, 10:20

Quello che i soprapostanti ti stanno suggerendo in modo un po' criptico è di andare sul sito di Gobbino e scaricare la lezione di Algebra I (polinomi e complessi) di uno stage senior. :D
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julio14
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Messaggio da julio14 » 28 nov 2008, 19:49

beh si... ma io cercavo qualcosa più terra terra, per il mio amico.... al massimo la prendo come occasione per spiegargli i complessi (è bravo in mate ma reticente ad ogni sviluppo extrascolastico :D )
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Messaggio da kn » 28 nov 2008, 21:21

Le formule più semplici secondo me sono queste:
$ \displaystyle\cos{nx}=\binom{n}{0}\cos^n x - \binom{n}{2}\cos^{n-2} x\sin^2 x + \binom{n}{4}\cos^{n-4} x\sin^4 x - \binom{n}{6}\cos^{n-6} x\sin^6 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k} x\sin^{2k} x + \dots $
$ \displaystyle\sin{nx}=\binom{n}{1}\cos^{n-1} x\sin x - \binom{n}{3}\cos^{n-3} x\sin^3 x + \binom{n}{5}\cos^{n-5} x\sin^5 x - \binom{n}{7}\cos^{n-7} x\sin^7 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1} x\sin^{2k+1} x + \dots $
Si ottengono combinando la formula di De Moivre con quella di Newton della potenza di un binomio :D

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Messaggio da elendil » 29 nov 2008, 14:41

SkZ ha scritto:oppure
$ $\cos{nx}=\Re{[e^{inx}]}=\Re{[\left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^n]}=... $
[OT] Che cos'è e cosa vuol dire $ \Re $? [/OT]

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Haile
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Messaggio da Haile » 29 nov 2008, 14:43

elendil ha scritto:
SkZ ha scritto:oppure
$ $\cos{nx}=\Re{[e^{inx}]}=\Re{[\left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^n]}=... $
[OT] Che cos'è e cosa vuol dire $ \Re $? [/OT]
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Mondo
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Messaggio da Mondo » 09 dic 2008, 21:22

C'è anche (ma non so quanto possa essere utile...) questa formula dovuta, se non sbaglio, a Dirichlet:

$ \frac{1}{2}+cos(x)+ cos(2x) + \cdots + cos nx= \displaystyle \frac{sin(n+\frac{1}{2})x}{2sin (\frac{x}{2})} $
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)

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Messaggio da SkZ » 09 dic 2008, 22:14

a proposito di quella formula
$ $\dots=\sum_{k=0}^ne^{ikx}=\dots $



PS: a che pro? e' piu' facile da ricordare cosi'
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Messaggio da mitchan88 » 11 dic 2008, 22:40

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