n punti, una retta
La formula tex non si vede... comunque bisogna far attenzione a distinguere ipotesi e tesi. L'ipotesi induttiva dice che se una configurazione di n punti rispetta le ipotesi, allora rispetta anche la tesi. Quindi non ti dice che tolto uno l'ipotesi o la tesi sono vere, ti dice solo che se tolto uno le ipotesi sono vere, allora anche la tesi è vera per n. Ma in questo caso non è detto che la ipotesi siano vere.
In altre parole, tu cosa vuoi dimostrare? Che, comunque dati n punti tali che blah blah, si ha che bleh bleh.
Ok, quindi la tua induzione deve arrivare a considerare ogni possibile configurazione di punti tali che blah blah.
Tu parti da una configurazione di n-1 punti tali che blah blah, poi ne aggiungi uno.
Bene.
Chi ti dice che ogni configurazione di n punti tali che blah blah può essere ottenuta da una di n-1 punti tali che blah blah aggiungendo un punto??
A posteriori (dopo aver risolto il problema) questo è vero, ma prenderlo come punto di partenza equivale a dare per buono quello che devi dimostrare
.
Chiaro?
(esempio che forse ti potrebbe confondere, supponi di avere un problema del tipo: dato un gruppo di n persone in cui ciascuno conosce almeno altre 2 persone, succede qualcosa... ora, il tuo ragionamento induttivo prevederebbe di prendere un insieme di n-1 persone in cui ognuno ne conosce altre 2, poi aggiungerne un'altra e supporre che ne conosca due delle precedenti... ma ti rendi ben conto che così non potrai mai ottenere un insieme di n persone in cui ognuno conosce esattamente altre 2 persone e questo insieme rientra nelle ipotesi e dunque va considerato, ma non è raggiunto dalla tua induzione).
Ok, quindi la tua induzione deve arrivare a considerare ogni possibile configurazione di punti tali che blah blah.
Tu parti da una configurazione di n-1 punti tali che blah blah, poi ne aggiungi uno.
Bene.
Chi ti dice che ogni configurazione di n punti tali che blah blah può essere ottenuta da una di n-1 punti tali che blah blah aggiungendo un punto??
A posteriori (dopo aver risolto il problema) questo è vero, ma prenderlo come punto di partenza equivale a dare per buono quello che devi dimostrare
.Chiaro?
(esempio che forse ti potrebbe confondere, supponi di avere un problema del tipo: dato un gruppo di n persone in cui ciascuno conosce almeno altre 2 persone, succede qualcosa... ora, il tuo ragionamento induttivo prevederebbe di prendere un insieme di n-1 persone in cui ognuno ne conosce altre 2, poi aggiungerne un'altra e supporre che ne conosca due delle precedenti... ma ti rendi ben conto che così non potrai mai ottenere un insieme di n persone in cui ognuno conosce esattamente altre 2 persone e questo insieme rientra nelle ipotesi e dunque va considerato, ma non è raggiunto dalla tua induzione).
Continuo a non capire, soprattutto non capisco perché partite da $ n $ e poi passate a $ n-1 $.
Io voglio provare che se ho $ n $ punti tali che presi due di essi ne esiste un terzo giacente sulla retta passante per i primi due, allora i punti sono tutti allineati.
Nel procedere per induzione il passo base viene bene ($ n=3 $). Il passo induttivo mi dite che viene male.
L'ipotesi induttiva è che il teorema sia vero per $ n $: cioè assumo che per $ n $ è vero che se $ n $ sono tali per cui presi due di essi ne esiste un terzo appartenente alla retta condotta per i primi due, allora gli $ n $ punti sono allineati.
Ora prendo $ n+1 $ punti e ne considero $ n $: per ipotesi induttiva per questi $ n $ punti il teorema è buono, per cui gli $ n $ punti che sto considerando sono allineati. Da questo fatto segue poi che gli $ n+1 $ punti sono tutti allineati.
Perché dite che togliete un punto? E perché ragionate su $ n-1 $ punti? Io non li riesco a tirare fuori sti $ n-1 $ punti, ma parto da $ n+1 $ punti e applico l'ipotesi induttiva sugli $ n $ punti... e onestamente non capisco perché non si possa applicare: l'esempio che avevo usato nel mio precedente post (quello in cui non si vede la formula TeX) era questo: la prova per induzione del fatto che $ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} $. In questa prova assumo come ipotesi induttiva che l'uguaglianza sia vera per $ n $ e la voglio provare per $ n+1 $, quindi prendo la somma con $ n+1 $ termini e guardo quella fino all'$ n $-esimo termine. Per l'ipotesi induttiva, su $ n $ l'uguaglianza è buona e quindi è buona per $ n+1 $. Non è la stessa cosa anche quà? Prendo $ n+1 $ punti, ne guardo $ n $, applico l'ipotesi induttiva per la quale per $ n $ il teorema è buono, quindi gli $ n $ sono allineati e tutta la storia finisce bene anche per gli $ n+1 $. Non capisco dove sparo stro***te
E non capisco perché voi ne prendete $ n-1 $ per dire che l'ipotesi induttiva non è buona
Io voglio provare che se ho $ n $ punti tali che presi due di essi ne esiste un terzo giacente sulla retta passante per i primi due, allora i punti sono tutti allineati.
Nel procedere per induzione il passo base viene bene ($ n=3 $). Il passo induttivo mi dite che viene male.
L'ipotesi induttiva è che il teorema sia vero per $ n $: cioè assumo che per $ n $ è vero che se $ n $ sono tali per cui presi due di essi ne esiste un terzo appartenente alla retta condotta per i primi due, allora gli $ n $ punti sono allineati.
Ora prendo $ n+1 $ punti e ne considero $ n $: per ipotesi induttiva per questi $ n $ punti il teorema è buono, per cui gli $ n $ punti che sto considerando sono allineati. Da questo fatto segue poi che gli $ n+1 $ punti sono tutti allineati.
Perché dite che togliete un punto? E perché ragionate su $ n-1 $ punti? Io non li riesco a tirare fuori sti $ n-1 $ punti, ma parto da $ n+1 $ punti e applico l'ipotesi induttiva sugli $ n $ punti... e onestamente non capisco perché non si possa applicare: l'esempio che avevo usato nel mio precedente post (quello in cui non si vede la formula TeX) era questo: la prova per induzione del fatto che $ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} $. In questa prova assumo come ipotesi induttiva che l'uguaglianza sia vera per $ n $ e la voglio provare per $ n+1 $, quindi prendo la somma con $ n+1 $ termini e guardo quella fino all'$ n $-esimo termine. Per l'ipotesi induttiva, su $ n $ l'uguaglianza è buona e quindi è buona per $ n+1 $. Non è la stessa cosa anche quà? Prendo $ n+1 $ punti, ne guardo $ n $, applico l'ipotesi induttiva per la quale per $ n $ il teorema è buono, quindi gli $ n $ sono allineati e tutta la storia finisce bene anche per gli $ n+1 $. Non capisco dove sparo stro***te
E non capisco perché voi ne prendete $ n-1 $ per dire che l'ipotesi induttiva non è buona "La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
E' qua che sbagli. Per ipotesi induttiva per n punti vale la tesi solo se valgono prima le ipotesi, e cioè che tutte le rette per 2 punti hanno almeno 3 punti. Se non valgono le ipotesi iniziali, l'ipotesi induttiva è inutile.WiZaRd ha scritto: Ora prendo $ n+1 $ punti e ne considero $ n $: per ipotesi induttiva per questi $ n $ punti il teorema è buono, per cui gli $ n $ punti che sto considerando sono allineati.
Cmq Evariste parla di n-1 semplicemente perchè usa n e n-1 al posto di n+1 e n.
Allora, parti da n+1 punti. Per cui vale l'ipotesi (ovvero per cui, se ne prendi due, ce n'è un terzo allineato).
Adesso, da loro isoli un insieme di n, chiamiamolo A ... chi ti dice che in questo insieme di n valga l'ipotesi?? Ad esempio, potrebbe essere che nel tuo insieme di n+1 vi fosse una retta con esattamente tre punti sopra, due dei quali stanno in A, ma il terzo è proprio quello che sta fuori da A. Cosa succede? Succede che nel tuo insieme A non è più vero che, presi due punti ce n'è un terzo allineato, quindi A non rientra nelle ipotesi, quindi non puoi dire che A sta tutto su una sola retta.
Chiaro, ora?
Il fatto è che qui il numero n di punti (o n+1, se vuoi, o 2n+3, o come ti pare) non descrive completamente il problema, perchè c'è ancora la libertà di disporre i punti nel piano. Invece nel problema della somma degli interi il numero n descrive completamente la situazione e il passaggio dal caso n al caso n+1 (o quello contrario) sono fatti in un solo modo, cioè aggiungendo (o togliendo) n+1 alla somma totale.
Qui tutto sta nel considerare quale punto aggiungi o togli e dove lo aggiungi o togli...
(sempre per tenere l'esempio di cui sopra: hai n città e sai che ognuna di loro è collegata ad almeno altre 2 da delle strade, dimostra che esiste un percorso che parte da una città e vi ritorna senza fare mai due volte la stessa strada ... supponi di farlo per induzione e considera il caso di n+1 città messe nei vertici di un n+1-agono regolare, ognuna collegata solo alle due di fianco. Per ridurti al caso n cosa faresti? toglieresti una città, ma in questo modo otterresti un grafo in cui due città sono collegate solo ad un'altra e non a 2, come nelle ipotesi, ovvero otterresti un grafo in cui non valgono le ipotesi e quindi non vale la tesi...)
Adesso, da loro isoli un insieme di n, chiamiamolo A ... chi ti dice che in questo insieme di n valga l'ipotesi?? Ad esempio, potrebbe essere che nel tuo insieme di n+1 vi fosse una retta con esattamente tre punti sopra, due dei quali stanno in A, ma il terzo è proprio quello che sta fuori da A. Cosa succede? Succede che nel tuo insieme A non è più vero che, presi due punti ce n'è un terzo allineato, quindi A non rientra nelle ipotesi, quindi non puoi dire che A sta tutto su una sola retta.
Chiaro, ora?
Il fatto è che qui il numero n di punti (o n+1, se vuoi, o 2n+3, o come ti pare) non descrive completamente il problema, perchè c'è ancora la libertà di disporre i punti nel piano. Invece nel problema della somma degli interi il numero n descrive completamente la situazione e il passaggio dal caso n al caso n+1 (o quello contrario) sono fatti in un solo modo, cioè aggiungendo (o togliendo) n+1 alla somma totale.
Qui tutto sta nel considerare quale punto aggiungi o togli e dove lo aggiungi o togli...
(sempre per tenere l'esempio di cui sopra: hai n città e sai che ognuna di loro è collegata ad almeno altre 2 da delle strade, dimostra che esiste un percorso che parte da una città e vi ritorna senza fare mai due volte la stessa strada ... supponi di farlo per induzione e considera il caso di n+1 città messe nei vertici di un n+1-agono regolare, ognuna collegata solo alle due di fianco. Per ridurti al caso n cosa faresti? toglieresti una città, ma in questo modo otterresti un grafo in cui due città sono collegate solo ad un'altra e non a 2, come nelle ipotesi, ovvero otterresti un grafo in cui non valgono le ipotesi e quindi non vale la tesi...)
Inannzitutto vi ringrazio per le risposte che mi avete dato.
Quanto alle stesse, prima di fare altre domande che potrebbero tediarvi, mi rileggo tutto il topic con calma (più di una volta) cercando di capire quello che non ho capito fin quà e che sicuramente mi avete già spiegato.
A dopo.
Quanto alle stesse, prima di fare altre domande che potrebbero tediarvi, mi rileggo tutto il topic con calma (più di una volta) cercando di capire quello che non ho capito fin quà e che sicuramente mi avete già spiegato.
A dopo.
"La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
Credo di avere capito: l'ipotesi induttiva mi dice che per un certo $ n $ vale l'implicazione $ A \longrightarrow B $, non che vale $ A $ e/o che vale $ B $.
Se ora prendo $ n+1 $ punti e ne tolgo uno, ho $ n $ punti per i quali vale l'implicazione di prima, ma non so se vale $ A $, quindi non posso dire che vale $ B $.
Giusto?
Grazie a tutti per le pazienti e preziose risposte.
Se ora prendo $ n+1 $ punti e ne tolgo uno, ho $ n $ punti per i quali vale l'implicazione di prima, ma non so se vale $ A $, quindi non posso dire che vale $ B $.
Giusto?
Grazie a tutti per le pazienti e preziose risposte.
"La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)