turista sfaticato..
turista sfaticato..
Nella piana di Giza vi sono due piccole piramidi regolari a base quadrata, che si
toccano in un vertice C e hanno i lati di base paralleli.
Un turista stanco si è arrampicato sulla cima V della prima piramide, e ora vorrebbe spostarsi sulla cima W della seconda piramide: si chiede quale sia il percorso più corto. Sapete aiutarlo?
toccano in un vertice C e hanno i lati di base paralleli.
Un turista stanco si è arrampicato sulla cima V della prima piramide, e ora vorrebbe spostarsi sulla cima W della seconda piramide: si chiede quale sia il percorso più corto. Sapete aiutarlo?
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- Iscritto il: 22 ott 2006, 14:36
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Siano $ 2l_1, 2l_2 $ i lati dei quadrati di base, $ a_1, a_2 $ i rispettivi apotemi.
Immaginiamo di attraversare la faccia $ VHC $, con un'angolazione $ \theta $ arrivando in $ T $.
Una volta in $ T $, come trovo il percorso minimo in funzione di un altro angolo $ \displaystyle \alpha =\widehat{TFC} $?
Sia $ f(\theta ) $ la funzione che descrive la somma dei segmenti percorsi.
Con un pò di trigonometria, si ricava che:
$ TF=\displaystyle \frac{1}{\sin{\alpha}}\cdot \bigg(l_2-\displaystyle \frac{a_2}{\tan{\theta}}\bigg) $
$ WF=\displaystyle \frac{a_1}{\sin{\alpha}} $
$ TV=\displaystyle \frac{a_2}{\sin{\theta}} $
Dunque $ \displaystyle f(\theta )=\frac{1}{\sin{\alpha}}\cdot \bigg(l_2+a_1-\frac{a_2}{\tan{\theta}}\bigg)+\frac{a_2}{\sin{\theta}} $.
Intanto guardo se la funzione è crescente o decrescente.
$ f'(\theta )=\displaystyle \bigg(-\frac{a_2}{\sin{\alpha}}\bigg) \cdot \bigg(-\frac{1}{\sin ^2{\theta}}\bigg)-\frac{a_2\cdot \cos{\theta}}{\sin ^2{\theta}} $
È sempre vero che $ \sin{\theta}\not =0 \leftrightarrow \theta \not =0 $ quindi non ci sono problemi, dato che $ \displaystyle \widehat{VCB}\le \theta \le \frac{\pi}{2} $.
Inoltre ho che $ f(\theta ) $ è crescente perchè $ \displaystyle f'(\theta )=\bigg(\frac{a_2}{\sin ^2{\theta}}\bigg) \bigg(\frac{1}{\sin{\alpha}}-\cos{\theta}}\bigg)>0 $ per il codominio delle funzioni seno e coseno.
Dunque, la funzione assume il suo valore minimo quando $ \displaystyle \theta $ è minimo nel suo intervallo di variabilità.
Cioè $ \displaystyle \theta =\widehat{VCB} $ e quindi il percorso minimo si ha passando per $ V\rightarrow C\rightarrow W $.
Sicuramente c'erano anche altri procedimenti, ma questo mi è sembrato quello più rigoroso per escludere altre possibilità.
Ciao.
Immaginiamo di attraversare la faccia $ VHC $, con un'angolazione $ \theta $ arrivando in $ T $.
Una volta in $ T $, come trovo il percorso minimo in funzione di un altro angolo $ \displaystyle \alpha =\widehat{TFC} $?
Sia $ f(\theta ) $ la funzione che descrive la somma dei segmenti percorsi.
Con un pò di trigonometria, si ricava che:
$ TF=\displaystyle \frac{1}{\sin{\alpha}}\cdot \bigg(l_2-\displaystyle \frac{a_2}{\tan{\theta}}\bigg) $
$ WF=\displaystyle \frac{a_1}{\sin{\alpha}} $
$ TV=\displaystyle \frac{a_2}{\sin{\theta}} $
Dunque $ \displaystyle f(\theta )=\frac{1}{\sin{\alpha}}\cdot \bigg(l_2+a_1-\frac{a_2}{\tan{\theta}}\bigg)+\frac{a_2}{\sin{\theta}} $.
Intanto guardo se la funzione è crescente o decrescente.
$ f'(\theta )=\displaystyle \bigg(-\frac{a_2}{\sin{\alpha}}\bigg) \cdot \bigg(-\frac{1}{\sin ^2{\theta}}\bigg)-\frac{a_2\cdot \cos{\theta}}{\sin ^2{\theta}} $
È sempre vero che $ \sin{\theta}\not =0 \leftrightarrow \theta \not =0 $ quindi non ci sono problemi, dato che $ \displaystyle \widehat{VCB}\le \theta \le \frac{\pi}{2} $.
Inoltre ho che $ f(\theta ) $ è crescente perchè $ \displaystyle f'(\theta )=\bigg(\frac{a_2}{\sin ^2{\theta}}\bigg) \bigg(\frac{1}{\sin{\alpha}}-\cos{\theta}}\bigg)>0 $ per il codominio delle funzioni seno e coseno.
Dunque, la funzione assume il suo valore minimo quando $ \displaystyle \theta $ è minimo nel suo intervallo di variabilità.
Cioè $ \displaystyle \theta =\widehat{VCB} $ e quindi il percorso minimo si ha passando per $ V\rightarrow C\rightarrow W $.
Sicuramente c'erano anche altri procedimenti, ma questo mi è sembrato quello più rigoroso per escludere altre possibilità.
Ciao.
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- Piramidi.jpg (25.04 KiB) Visto 9280 volte
da 2D a 3D
io avevo pensato a qualcosa di più breve e bucolico:
presi due qualsiasi punti T ed F
chiamo i percorsi W-F-T-V e W-C-C-V p2 e p1 rispettivamente.
p2-p1= FT - ((VC - VT) + (WC - WF))
se le due piramidi hanno altezze h1, h2 nulle allora
p2-p1>0 (il percorso + breve che unisce due punti è il segmento)
quindi FT > (VC - VT) + (WC - WF)
Per altezze diverse da zero, il secondo membro diminuisce (il motivo è banale) e quindi è, a maggior ragione, minore di FT. Dunque p2>p1 per ogni F, T, h1, h2.
TUTTO PER RISPARMIARE INCHIOSTRO E TEMPO
presi due qualsiasi punti T ed F
chiamo i percorsi W-F-T-V e W-C-C-V p2 e p1 rispettivamente.
p2-p1= FT - ((VC - VT) + (WC - WF))
se le due piramidi hanno altezze h1, h2 nulle allora
p2-p1>0 (il percorso + breve che unisce due punti è il segmento)
quindi FT > (VC - VT) + (WC - WF)
Per altezze diverse da zero, il secondo membro diminuisce (il motivo è banale) e quindi è, a maggior ragione, minore di FT. Dunque p2>p1 per ogni F, T, h1, h2.
TUTTO PER RISPARMIARE INCHIOSTRO E TEMPO
Aster will never set!
Amo la vita e sarei pronto a perderla pur di viverla!
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Soluzione?
Dal momento che la situazione è simmetrica rispetto alla retta passante per i centri delle piramidi, è indifferente scegliere un percorso da un lato o dall'altro.
Inoltre dato che il percorso avviene su due facce della piramide ed eventualmente sulla zona compresa tra $ ~A $, $ ~B $ e $ ~C $, possiamo ruotare le facce delle piramidi sino a farle toccare terra e ragionare in 2 dimensioni.
Siano $ ~F $ e $ ~G $ due punti generici sui lati $ ~AB $ e $ ~BC $.
Il percorso tra un vertice della piramide e l'altro è dato da:
$ l=DF+FG+GE $
Per il teorema dei seni applicato sui triangoli $ ~AFD $ e $ ~CGE $ si ha che:
$ \displaystyle FD=\frac{AD \sin{\widehat{BAD}}}{\sin\alpha}=\frac{k_1}{\sin\alpha} $
$ \displaystyle GE=\frac{CE \sin{\widehat{BCE}}}{\sin\beta}=\frac{k_2}{\sin\beta} $
Mentre
$ \displaystyle FG=\sqrt{BG^2+BF^2} $
Sempre per il teorema dei seni si ha:
$ \displaystyle BF=AD \frac{\sin{\left (\alpha - \widehat{BAD}} \right )}{\sin\alpha} $
e
$ \displaystyle BG=CE \frac{\sin{\left (\beta - \widehat{BCE}} \right )}{\sin\beta} $
Quindi
$ \displaystyle l=a_1 + a_2 + a_3=\frac{k_1}{\sin\alpha}+\frac{k_2}{\sin\beta}+\sqrt{\left ( AD \frac{\sin{\left (\alpha - \widehat{BAD}} \right )}{\sin\alpha} \right )^2 + \left ( CE \frac{\sin{\left (\beta - \widehat{BCE}} \right )}{\sin\beta} \right )^2 } $
Ora $ ~a_1 $ e $ ~a_2 $ sono minimi quando $ ~\alpha $ e $ ~\beta $ sono massimi, ovvero per i limiti imposti dalle condizioni del problema $ ~\alpha=\widehat{BAD} $ e $ ~\beta=\widehat{BCE} $, le quali sono anche le condizioni per cui $ ~a_3 $ è minimo, essendo una radice è $ ~ \geq 0 $ ed il minimo lo si ha proprio in questo caso.
Pertanto il percorso minimo si ha se $ ~F \equiv G \equiv B $, ovvero se il turista passa per il punto di intersezione delle due piramidi.
C'è qualche impavido correttore?opinioni?suggerimenti?
Inoltre dato che il percorso avviene su due facce della piramide ed eventualmente sulla zona compresa tra $ ~A $, $ ~B $ e $ ~C $, possiamo ruotare le facce delle piramidi sino a farle toccare terra e ragionare in 2 dimensioni.
Siano $ ~F $ e $ ~G $ due punti generici sui lati $ ~AB $ e $ ~BC $.
Il percorso tra un vertice della piramide e l'altro è dato da:
$ l=DF+FG+GE $
Per il teorema dei seni applicato sui triangoli $ ~AFD $ e $ ~CGE $ si ha che:
$ \displaystyle FD=\frac{AD \sin{\widehat{BAD}}}{\sin\alpha}=\frac{k_1}{\sin\alpha} $
$ \displaystyle GE=\frac{CE \sin{\widehat{BCE}}}{\sin\beta}=\frac{k_2}{\sin\beta} $
Mentre
$ \displaystyle FG=\sqrt{BG^2+BF^2} $
Sempre per il teorema dei seni si ha:
$ \displaystyle BF=AD \frac{\sin{\left (\alpha - \widehat{BAD}} \right )}{\sin\alpha} $
e
$ \displaystyle BG=CE \frac{\sin{\left (\beta - \widehat{BCE}} \right )}{\sin\beta} $
Quindi
$ \displaystyle l=a_1 + a_2 + a_3=\frac{k_1}{\sin\alpha}+\frac{k_2}{\sin\beta}+\sqrt{\left ( AD \frac{\sin{\left (\alpha - \widehat{BAD}} \right )}{\sin\alpha} \right )^2 + \left ( CE \frac{\sin{\left (\beta - \widehat{BCE}} \right )}{\sin\beta} \right )^2 } $
Ora $ ~a_1 $ e $ ~a_2 $ sono minimi quando $ ~\alpha $ e $ ~\beta $ sono massimi, ovvero per i limiti imposti dalle condizioni del problema $ ~\alpha=\widehat{BAD} $ e $ ~\beta=\widehat{BCE} $, le quali sono anche le condizioni per cui $ ~a_3 $ è minimo, essendo una radice è $ ~ \geq 0 $ ed il minimo lo si ha proprio in questo caso.
Pertanto il percorso minimo si ha se $ ~F \equiv G \equiv B $, ovvero se il turista passa per il punto di intersezione delle due piramidi.
C'è qualche impavido correttore?opinioni?suggerimenti?
Allora provo a risparmiare inchiostro e tempo anch'io.
Con riferimento alla figura di EUCLA consideriamo la retta perpendicolare ad AC passante per C (nel piano delle basi delle piramidi). È evidente che bisogna passare per almeno un punto di quella retta. La minima distanza dalla cima di una piramide alla retta è pari alla lunghezza del cammino dal vertice a C quindi il cammino più corto è quello per C.
Con riferimento alla figura di EUCLA consideriamo la retta perpendicolare ad AC passante per C (nel piano delle basi delle piramidi). È evidente che bisogna passare per almeno un punto di quella retta. La minima distanza dalla cima di una piramide alla retta è pari alla lunghezza del cammino dal vertice a C quindi il cammino più corto è quello per C.
Hypotheses non fingo
Re: Soluzione?
con riferimento alla figura di Alex90, sia P l'intersezione della circonferenza di centro B e raggio BE con il prolungamento di DB dalla parte di B. Si ha evidentemente che la spezzata DFGP e' maggiore di DP = DB + BP = DB + BE.
Ma nel triangolo PGE, PG e' minore di GE in quanto gli angoli opposti son in relazione contraria essendo uno un po piu' piccolo e uno un po' piu' grande dell'alngolo di base del traingolo isoscele BPE.
Edit 1:
Cosi messa la prova non e' corretta/completa. Fa uso implicito di una proprieta' della figura che bisognerebbe(ed in effetti non e' troppo difficile farlo), secondo me, esplicitamenet provare.
Edit2: esiste un modo ancora piu' economico di rpovare la tesi, facendo solo riferimento alla diseguaglainza traingolare e a null'altro.
Re: turista sfaticato..
Credo ci sia qualcosa che mi sfugge.
Allora se per andare a W deve necessariamente passare per C allora vuol dire che sul triangolo VCB(e poi WCD) compirà una serie di spezzate chiuse che possono essere al minimo dei triangoli. Ma a questo punto è facile dire che vale la disuguaglianza triangolare che permette al percorso VCW di essere il più breve.
O non è così semplice e c'è qualche altra considerazione da fare?
Allora se per andare a W deve necessariamente passare per C allora vuol dire che sul triangolo VCB(e poi WCD) compirà una serie di spezzate chiuse che possono essere al minimo dei triangoli. Ma a questo punto è facile dire che vale la disuguaglianza triangolare che permette al percorso VCW di essere il più breve.
O non è così semplice e c'è qualche altra considerazione da fare?
$ 2^{43 112 609} - 1 $