Ultimo problema della Enriques di Aprile

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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carlop
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Ultimo problema della Enriques di Aprile

Messaggio da carlop » 05 giu 2008, 00:45

Cito:

Sono dati $ $n $ punti $ $P_1, P_2, ... , P_n $ nel cerchio di centro $ $P_1 $ e raggio 1. Per ogni intero $ $i = 1,2, ... , n $ indichiamo con $ $x_i $ la minima distanza tra $ $P_i $ e gli altri $ $n - 1 $ punti.
Si dimostri che: $ $\sum\limits_{i=1}^n {x_i^2} \leq 9 $.

Buon divertimento!

NM
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Messaggio da NM » 28 ago 2008, 16:25

Ogni tanto bazzico inosservato da queste parti... a suo tempo avevo letto questo problema, simile ad uno che non riuscivo a fare tempo fa e mi sono detto: quando ho tempo e voglia ci provo... ecco qua:

Ad ogni punto si può associare in modo naturale un cerchio, quello con il centro nel punto medesimo e come raggio la distanza dal punto al punto più vicino dei rimanenti. In questo modo si disegnano $ $n $ cerchi, che si possono anche intersecare e anche strabordare dal cerchio iniziale di raggio unitario. A questo punto osserviamo che se prendiamo dei nuovi cerchi, concentrici con i precedenti ma di raggio la metà, si ha:
- i nuovi cerchi non si intersecano;
- i nuovi cerchi sono compresi all'interni di un cerchio più grosso conciclico con $ $P_1 $ e di raggio $ $\frac{3}{2} $.
Chiamando $ $A_i $ le aree dei nuovi cerchi segue che:
$ $\pi\sum_{i=1}^{n}x_i^2=4\sum_{i=1}^{n}A_i \le 4\left(\frac{3}{2}\right)^2\pi=9\pi $
e semplificando il $ $\pi $ la disuguaglianza cercata.

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