Ultimo esercizio gara a squadre 2008 di Cesenatico

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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gabri
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Ultimo esercizio gara a squadre 2008 di Cesenatico

Messaggio da gabri » 14 mag 2008, 17:53

Spero che la categoria sia giusta visto che il clou del problema è roba di geometria.

Si tratta dell'ultimo esercizio della finale a squadre di Cesenatico di cinque giorni fa, io ho provato a risolverlo ma mi veniva un risultato che era meno di un terzo di quello corretto!

Posto il link della pagina per il download per chi non sapesse quale sia il problema: http://olimpiadi.ing.unipi.it/index.php ... ownloads=1

Qualcuno l'ha risolto correttamente? Se sì come?

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 14 mag 2008, 19:56

Io ci ho provato ma alla fine il risultato era sbagliato...non mi ricordo sinceramente di quanto :lol: comunque adesso provo a esporre il mio ragionamento (sperando di non scrivere castronerie):

Iniziamo col dire che quando arrivano alla situazione di "equilibrio" ovvero i 27 metri di distanza vuol dire che in uno stesso tempo $ t $ Maggie percorre 27 metri mentre Bart fa un giro completo più 27 metri quindi

$ v=\frac{s}{t} $
$ t=\frac{s}{v}=\frac{27}{7}s $

pertanto in questo tempo $ t $ Bart ha percorso

$ s=v\cdot t=455 \cdot \frac{27}{7} = 1755 m $

Quindi un giro completo è $ \Delta x =1755-27 = 1728 m $

Se si osservano ora i 4 triangoli che il percorso contiene (a 2 a 2 congruenti) si nota facilmente che sono tutti simili, occorrerà perciò trovare il coefficiente angolare di una delle rette "oblique".

Prendendo in esame uno dei due triangolini più piccoli e dividendolo in 2 si otterrando due triangoli rettangoli con cateto minore $ 5 $ $ (\frac{10}{2}) $ e ipotenusa $ 13 $ (il raggio delle semicirconferenze), quindi sfruttando pitagora viene che il coefficiente angolare è $ \frac{12}{5} $

Perciò detta $ a $ l'altezza relativa alla base nei due triangoli isosceli si ha che:

$ 4 \cdot \frac{12}{5}a + 4 \cdot \frac{13}{5}a + 4 \cdot 12 + 4 \cdot 13 =1728 $
$ 4(\frac{12}{5}a + \frac{13}{5}a + 12 + 13) =1728 $
$ \frac{12}{5}a + \frac{13}{5}a + 12 + 13 =432 $
$ \frac{25}{5}a + 25 =432 $
$ 5a + 25 =432 $
$ 5a =432-25 $
$ a = \frac{407}{5} $

Quindi la risposta al problema è $ 2a + 10 = 172 $

Però non è...dov'è l'errore? :lol:

gabri
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Messaggio da gabri » 14 mag 2008, 20:22

già, ma fin qui era la parte "facile" (ti ringrazio comunque per averla trascritta!), ora inizia la parte geometrica: francamente non sono in stato in grado di capire come usare il raggio delle circonferenze! dopo aver dimostrato che i 4 vari triangoli formati dal percorso sono simili, isosceli e a due a due uguali (lo si capiva anche dalla figura), ho provato vedere se l'angolo alla base di questi triangoli fosse in qualche modo ricollegabile all'angolo che sottende la corda di 10 m ma come ovvio non dovrebbe esserlo (anche perché verrebbero calcoli goniometrici troppo complessi per uno che non può usare la calcolatrice!).

Quindi il problema è questo: come uso i raggi delle circonferenze?

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 14 mag 2008, 20:57

forse il discorso che una corda AB qualsiasi è

$ AB=2r\cdot \sin\alpha $

Quindi
$ \sin\alpha = \frac{10}{26}=\frac{5}{13} $

e poi il discorso che angoli supplementari hanno lo stesso seno?

gabri
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Messaggio da gabri » 14 mag 2008, 21:00

innanzitutto scusa per la mia risposta affrettata che non ha tenuto conto del tuo EDIT.

L'errore è semplice: purtroppo l'ipotenusa del "triangolino" non coincide col raggio della circonferenza, pertanto non è uguale a 13.

EDIT:
L'avevo pensato pure io.
$ AB=2r\cdot \sin\alpha $
questo è ciò che avevo fatto io sul treno di ritorno da Cesenatico, ma (salvo errori dovuti al fatto che ho dovuto fare i calcoli a mano) il risultato non combacia, e di un bel po'!

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Messaggio da fph » 14 mag 2008, 22:23

Ho provato anch'io a farlo senza vedere la soluzione ufficiale...
Se i pupini vengono riflessi secondo le leggi della riflessione, l'angolo di riflessione dei triangoloni non dovrebbe essere uguale a quello al centro bensì il suo doppio, o sbaglio?
Quindi vanno rispolverate le formulazze trigonometriche...
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gabri
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Messaggio da gabri » 14 mag 2008, 22:41

potrebbe essere...ma come ci sei arrivato? scusa ma sono un po' lento!

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Messaggio da Stex19 » 14 mag 2008, 23:26

Alex90 ha scritto:
Iniziamo col dire che quando arrivano alla situazione di "equilibrio" ovvero i 27 metri di distanza vuol dire che in uno stesso tempo $ t $ Maggie percorre 27 metri mentre Bart fa un giro completo più 27 metri quindi
beh, non è detto... potrebbe essere che nel tempo che maggie fa 81 metri bart fa un giro + 81 metri e il giro completo è 81K+54
anche in questo caso dopo 3 giri di maggie avrebbero un segno ogni 27 metri....

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Messaggio da g(n) » 15 mag 2008, 16:50

Rispondo anche io perchè ho tentato invano di risolvere questo problema in gara.

All'inizio anche io leggendo male il testo avevo considerato gli angoli come alex90, e ho consegnato infatti 172, che però era sbagliata. Poi mi sono accorto dell'errore, però ormai era troppo tardi :x

Si possono però utilizzare le formule di duplicazione:

$ \sin{2\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha $
$ \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha $

e poi si dovrebbe procedere come ha fatto alex solo cambiando i valori del seno e del coseno.

Ammetto che per ripicca non ho voluto rifarlo a casa :roll: ma magari adesso ci riprovo...

PS Anche io ho considerato che maggie fa 27 metri nello stesso tempo in cui bart fa un giro e 27, appellandomi al fatto che la soluzione al 99% è unica, e vedendo che funzionava...a volte nelle gare a squadre non bisogna farsi troppe domande... :P

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 15 mag 2008, 20:25

Stex19 ha scritto:
Alex90 ha scritto:
Iniziamo col dire che quando arrivano alla situazione di "equilibrio" ovvero i 27 metri di distanza vuol dire che in uno stesso tempo $ t $ Maggie percorre 27 metri mentre Bart fa un giro completo più 27 metri quindi
beh, non è detto... potrebbe essere che nel tempo che maggie fa 81 metri bart fa un giro + 81 metri e il giro completo è 81K+54
anche in questo caso dopo 3 giri di maggie avrebbero un segno ogni 27 metri....
credo che però questa sia un'interpretazione un po' forzata...anche perchè non so dove sbattere la testa quindi adesso provo a vedere se con la mia torna...comunque grazie per l'osservazione :wink:

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Messaggio da Alex90 » 21 mag 2008, 20:56

uppino...qualcuno sa come risolverlo?

gabri
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Messaggio da gabri » 22 mag 2008, 14:23

Allora si sa che il tragitto totale è di 1728 metri.
Ponendo
$ \displaystyle \sin\alpha =\frac{5}{13} $
dove $ \displaystyle \alpha $ è la metà dell'angolo alla circonferenza che sottende la corda di 10 metri, sapendo che $ \displaystyle \alpha $ è uguale per le leggi della rifrazione alla metà dell'angolo alla base dei triangoli isosceli "grossi"(la bisettrice dell'angolo alla circonferenza è parallela alle basi dei triangoli), e sapendo che i triangoli sono a coppie congruenti o simili, si riesce, grazie alla trigonometria ad arrivare all'altezza di relativa alla base di uno dei triangoli isosceli, e da lì alla soluzione (corretta pergiunta). Se ci sono domande fate!

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