Cesenatico 1993 - Cubo che ruota

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EUCLA
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Cesenatico 1993 - Cubo che ruota

Messaggio da EUCLA » 02 apr 2008, 18:41

Sia C un cubo di lato 1 e lo si ruoti di 60° intorno ad una sua diagonale ottenendo così un cubo C'. Si determini il volume del solido di intersezione di C e C' .

Non mi è riuscito trovare una soluzione decente. E per decente intendo abbastanza matematica, il mio ultimo tentativo consisteva nel rappresentare in proiezioni ortogonali i due solidi e determinarne le intersezioni :?

Tenete presente che la soluzione sarà compresa tra le soluzioni ufficiali quindi usate metodi capibili. (Chiaro Gabriel?)

g(n)
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Messaggio da g(n) » 02 apr 2008, 20:08

Do solo uno spunto:
scelto un vertice A del cubo tra i due che rimangono fissi, si considerino, per ogni faccia contenente A, i 2 lati della faccia che non lo contengono. Si prendano i punti medi di questi 6 segmenti. Essi vanno uno nell'altro se ruotati di 60 gradi, quindi la figura di intersezione dovrebbe essere una doppia piramide a base esagonale.

Spero di non aver scritto cavolate :D

ciao

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 03 apr 2008, 21:56

Bella come idea! Grazie dell'aiuto! :wink:

Lo devo ancora formalizzare eh :roll: , ma mi sembra un bel passo per partire questo!

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 07 apr 2008, 18:00

beh...il volume è banalmente $ 1- \frac{6}{24} = \frac{3}{4} $
inoltre sappiamo che una rotazione di 120 lascia invariato tutto e che quindi una di 60 equivale a una di 180 che equivale a una simmetria del cubo rispetto al piano che passa per il famoso esagono dei punti medi.

quindi qualche rilancio: prendiamo un cubo
1)Consideriamo le simmetrie del cubo rispetto a tutti questi piani ottenibili e otteniamo un bel poliedro.
Determinare area e volume dell'intersezione e dell'unione.
2)Prendiamo una faccia del cubo di partenza e notiamo che sopra di essa si viene a formare un quadrato a lei parallelo unendi i vertici di opportuni cubi, costruiamo il cobo con faccia di base quel quadrato rivolto verso l'esterno del solido e ugualmente per le altre faccie. otteniamo così un solido con il solido precedente più 6 cubi. determinare il volume del più piccolo ottaedro che lo contiene interamente.

la stessa cosa si può fare anche con l'ottaedro: prese due faccie opposte esiste un piano parallelo ed equidistante dai due piani su cui esse giacciono. Si considerino le simmetrie dell'ottaedro rispetto a questi 4 piani, si ottene un bel solido...trovarne volume di intersezione e unione

chiaramente si potrebbe fare anche con dodecaedro e icosaedro ma sembra piuttosto improponibile :twisted:

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Marco
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Messaggio da Marco » 08 apr 2008, 15:08

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:1)Consideriamo le simmetrie del cubo rispetto a tutti questi piani ottenibili e otteniamo un bel poliedro.
Determinare area e volume dell'intersezione e dell'unione.
No, non ti ho capito. I piani di simmetria che indichi sono quattro. Il che significa che puoi riflettere il cubo in quattro modi diversi. Vuoi unione e intersezione di questi quattro cubi?
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 08 apr 2008, 15:39

Marco ha scritto:
¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:1)Consideriamo le simmetrie del cubo rispetto a tutti questi piani ottenibili e otteniamo un bel poliedro.
Determinare area e volume dell'intersezione e dell'unione.
No, non ti ho capito. I piani di simmetria che indichi sono quattro. Il che significa che puoi riflettere il cubo in quattro modi diversi. Vuoi unione e intersezione di questi quattro cubi?
beh si gli assi sono 4 quindi sono 4 simmetrie e quindi 4 cubi + quello di partenza :wink:

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