perpendicolari e prodotti (BrMO)

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Jacobi
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perpendicolari e prodotti (BrMO)

Messaggio da Jacobi » 20 mar 2008, 11:13

Trovare il punto P in un triangolo ABC tale che sia massimo il prodotto fra PL, PM e PN dove M, N ed L sono rispettivamente i piedi delle perpendicolari tracciate da P ad AB, BC ed AC

ps: il problema e di facile risoluzione, quindi GABRIEL NN LO BRUCIARE DOPO 2 SECONDI E LASCIA PROVARE ANCHE AGLI ALTRI 8) Se poi nessuno si interessa al problema ( cosa probabile ) potrai attaccarlo :D
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giove
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Messaggio da giove » 20 mar 2008, 12:21

Dunque, chiamiamo x,y,z rispettivamente PM,PN,PL.
Quindi ax+by+cz è il doppio dell'area ed è costante.
Per AM-GM avremo che
$ \sqrt[3]{ax \cdot by \cdot cz} \leq \frac{ax+by+cz}{3} $
E quindi
$ xyz \leq \frac{\left( \frac{2}{3} S \right) ^3}{abc} $, che è una costante.
L'uguaglianza vale se e solo se
$ ax=by=cz $ ovvero nel caso del baricentro.

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 20 mar 2008, 17:28

direi che ci siamo! 8) ( gabriel si merita un applauso: e riuscito a contenersi :D )
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