Ellise e tanengti ad essa

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Overflow
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Ellise e tanengti ad essa

Messaggio da Overflow » 22 feb 2008, 17:36

ciao, ho iniziato a studiare l'ellisse, e quando devo trovare la tangente passante per un punto, mi ritrovo in un casino di calcoli, e quindi aumenta notevolmente la possibilità di sbagliare. Il metodo che uso è questo:

1) fascio di rette passante per un punto, per esempio A(5;7), quindi viene
y-y0 = m(x - x0) ------> y-7 =m(x -5) con il parametro quindi y=mx - 5m +7 con il parametro m quindi.

e dopo faccio il sistema inserendo l'equazione precedente con l'equazione dell'ellisse. trovandomi cosi alla fine un equazione di 2o grado in x o y e il parametro m. Ponendo il Delta =0 (condiz. di tangenza) trovo il valore d m, lo sostituisco e trovo dunque l'equazione della tangente. Solo il problema è che mi viene un casino... ci sono troppi calcoli(nel sistema), e sbaglio spesso, mi escono numeri troppo elevati. Vi chiedo se conoscete un metodo per semplificare o ottimizzare questa procedura. O se c'è un altra soluzione...

Grazie.

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tinoceck
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Messaggio da tinoceck » 22 feb 2008, 18:09

Non penso ci sia un'altro metodo... O almeno non penso che ci sia perchè io non ne ho fatti di diversi e nei miei libri non ne trovo.

Comunque, non so se le conosci, ma potrebbe tornare utile sapere le formule di sdoppiamento. Non si possono usare per tutti i casi, ma servono per trovare la tangente di un punto appartenente all'ellisse (o circonferenza, o parabola o anche iperbole).
Così prima di impostare il sistema (che vedo essere l'unica via) controlla se il punto appartiene all'ellisse e sostituisci:

x^2 = x0 * x
y^2 = y0 * y
x = (x0 + x) / 2
y = (y0 + y) / 2
xy = [ (x0 * y) + (y0 + x) ] / 2

con P (x0 ; y0) appartenente all'ellisse (o alle altre suddette)

PS: se qualcuno volesse fare delle osservazioni... almeno imparo qualcosa in più da quello che già so.

Pape
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Messaggio da Pape » 22 feb 2008, 19:11

quello che scrivo so che è valido per la circonferenza, non sono sicuro se valga anche per l'ellisse. Detto P(xo;yo) il punto da cui condurre le tangenti, dalla formula di sdoppiamento troviamo una particolare retta (la polare) definita come la retta passante per i punti di tangenza (chiamiamoli T e T1). si può quindi mettere a sistema la polare con l'ellisse e trovare i due punti. si determinano le tangenti con la formula della retta passante per due punti (PT e PT1). certo i quadrati e le difficoltà rimangono comunque....

Overflow
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Messaggio da Overflow » 23 feb 2008, 19:02

ciao, proprio stamattina con la prof abbiamo visto la formula dello sdoppiamento, ma c ha detto che funziona SOLO SE il punto (x0;y0) si trovia SULL'ellisse. Se il punto da cui far condurre la tangente è esterno all'ellisse non si puo utilizzare, si usa il procedimento normale.
Vabe grazie, io pensavo ci fosse un altro modo....mi tocca farmi ogni volta tutti quei calcoli!!! Il mio problema è soprattutto al compito in classe!!! non posso perdere tempo a rivedere tutti i passaggi se li ho fatti bene altrimenti non riesco a risolvere tutte le traccie.
Comunque grazie ancora.

Pape
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Messaggio da Pape » 24 feb 2008, 18:14

io dicevo che, se il punto si trova sull'ellisse con lo sdoppiamento ti trovi direttamente la tangente. ma se il punto è esterno ti trovi una retta, detta polare, che congiunge i punti di tangenza....i calcoli rimangono comunque.

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