Teorema di Morley

[Laplace89]

Non so se nel forum si sia già parlato di questo teorema, comunque io ve lo propongo ugualmente, il teorema asserisce quanto segue: In un triangolo si trisechino gli angoli interni.I 3 punti di intersezione delle trisecanti adiacenti formano un triangolo equilatero.L'ho trovato molto carino e pieno di regolarità, qualcuno di voi sa come si dimostra? E' necessario ricorrere a tecniche di geometria proiettiva? Grazie in antipico per le eventuali risposte.

[filippo]

sia dimostra con il teorema dei seni e il teorema di carnot

[Pigkappa]

C'è la dimostrazione euclidea (con al più qualche teorema dei seni) sul Coxeter (che in realtà si intitola Geometry Revisited, mi pare), e non è proprio semplicissima, se ricordo bene...

[EvaristeG]

Sperando che ci sia qualcuno che ha voglia di lavorare, ecco una dimostrazione guidata:

Sia ABC il triangolo di partenza, siano AQ, AR, BP, BR, CP, CQ le trisettrici; vogliamo dimostrare che PQR è equilatero.

1)Calcolare BP con il teorema dei seni nel triangolo BPC
2)Calcolare BR con il teorema dei seni (in che triangolo?)
3)Calcolare PR con il teorema di Carnot.
4)Dimostrare che
$ \sin^2(\beta)=\sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\gamma) $ $ -2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\gamma)\cos(\beta) $
dove gli angoli del triangolo di partenza sono $ 3\alpha,\ 3\beta,\ 3\gamma $.
5)Portare l'espressione di PR ad essere simmetrica negli angoli e da questo concludere.

Se fate questa, magari mi ingegno a postarne una sintetica, anche se "alla rovescia".

[Laplace89]

Finisco di leggere alcune pagine di Polya e poi provo immediatamente a fare come hai detto Evariste.

[Laplace89]

La sto facendo ma non so come postare i risultati visto che non so usare La Tex.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

chimiamo P l'incontro tra le trisettrici adiacenti a AB, quelle di BC in M, quelle di CA in N.



$ \displaystyle AP = \frac{c \sin{\frac{\beta}{3}} }{\sin{\frac{\pi - \gamma}{3}}} = \frac{2R \sin{\gamma} \sin{\frac{\beta}{3}} }{\sin{\frac{\pi - \gamma}{3}}} = \frac{2R \sin{\frac{\beta}{3}} \sin{\frac{\pi - \gamma}{3}} \left [ 3 - 4\sin^2{\frac{\pi - \gamma}{3}} \right ]}{\sin{\frac{\pi - \gamma}{3}}} = $$ \displaystyle 2R \sin{\frac{\beta}{3}} \left [ 3 - 2 \left [ 1 - \cos{\frac{2\pi - 2\gamma}{3}} \right ] = 2R \sin{\frac{\beta}{3}} \left [ 1 + 2\cos{\frac{2\pi - 2\gamma}{3}} \right ] = $

$ \displaystyle = 4R \sin{\frac{\beta}{3}} \left [ \frac{1}{2} + \cos{\frac{2\pi - 2\gamma}{3}} \right ] = 4R \sin{\frac{\beta}{3}} \left [ \cos{\frac{\pi}{3}} + \cos{\frac{2\pi - 2\gamma}{3}} \right ] = $$ \displaystyle 8R \sin{\frac{\beta}{3}} \cos{\left ( \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{3} \right )} \cos{\left ( \frac{\pi}{6}} - \frac{\gamma}{3} \right )} = 8R \sin{\frac{\beta}{3}} \cos{\frac{\gamma}{3}} \cos{\left ( \frac{\pi}{6}} - \frac{\gamma}{3} \right )} $

ugualmente $ \displaystyle AN = 8R \sin{\frac{\beta}{3}} \cos{\frac{\gamma}{3}} \cos{\left ( \frac{\pi}{6}} - \frac{\beta}{3} \right )} $

per carnot su APN

$ \displaystyle PN^2 = AP^2 + AN^2 - 2AP \cdot AN \cos {\frac{\alpha}{3}} = 64R^2\sin^2{\frac{\beta}{3}} \sin^2{\frac{\gamma}{3}} $$ \displaystyle \left [\cos^2{\left ( \frac{\pi}{6} - \frac{\beta}{3} \right )} + $$ \displaystyle \cos^2{\left ( \frac{\pi}{6} - \frac{\gamma}{3} \right )} - 2\cos{\left ( \frac{\pi}{6} - \frac{\gamma}{3} \right )} \cos{\left ( \frac{\pi}{6} - \frac{\beta}{3} \right )} \cos{\frac{\alpha}{3}} ] = $

$ = \displaystyle 64R^2\sin^2{\frac{\beta}{3}} \sin^2{\frac{\gamma}{3}} $$ \displaystyle \left [ \frac{1 + \cos{\left ( \frac{2\pi}{6} - \frac{2 \gamma}{3} \right ) }}{2} \frac{1 + \cos{\left ( \frac{2\pi}{6} - \frac{2 \beta}{3} \right ) }}{2} $$ \displaystyle - \cos{\frac{\alpha}{3}} \left ( \cos{\frac{\pi - \beta - \gamma}{3}} + \cos{\frac{\beta - \gamma}{3}} \right ) ] = $

$ = \displaystyle 64R^2\sin^2{\frac{\beta}{3}} \sin^2{\frac{\gamma}{3}} \left [ 1 + \cos{\frac{\alpha}{3}} \cos{\frac{\beta - \gamma}{3}} - $$ \displaystyle \cos^2{\frac{\alpha}{3}} - \cos{\frac{\alpha}{3}}\cos{\frac{\gamma - \beta}{3}} ] = $$ \displaystyle 64 R^2 \sin^2{\frac{\alpha}{3}}\sin^2{\frac{\beta}{3}}\sin^2{\frac{\gamma}{3}} $

quindi $ \displaystyle PN = 8 R \sin{\frac{\alpha}{3}}\sin{\frac{\beta}{3}}\sin{\frac{\gamma}{3}} $

Quindi per simmetria $ \displaystyle PN = NM = MP $



[purtroppo causa formule troppo lunghe per il tex alcune parentesi sono venute male...]