Dubbio su G8

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TheRoS
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Dubbio su G8

Messaggio da TheRoS » 12 lug 2018, 17:19

Salve, stavo cercando di capire il problema G8 del PreIMO 2017 ma nella costruzione del disegno con Gegogebra mi pare di aver trovato alcune incongruenze. Nel Lemma iniziale viene dimostrato che se il triangolo $A_1B_1C_1$ è ordinatamente simile ad $ABC$ e i punti $A_1,B_1,C_1$ sono rispettivamente sulle rette $BC,AC,AB$, il punto di Miquel del triangolo $A_1B_1C_1$ è sempre il circocentro di $ABC$. Questa è un'osservazione dentro il lemma che invece afferma che il centro di similitudine tra $A_1B_1C_1$ e $ABC$ al variare di $A_1B_1C_1$ copre $tutto$ l'orthocentroidal circle (la circonferenza di diametro di $GH$). Dopo la dimostrazione del lemma se non sbaglio viene asserito che $Y$ è il centro di similitudine tra l'immagine del triangolo $PQR$ (dopo l'omotetia di fattore $-2$ e di centro $G$) e il triangolo $ABC$. Dopo aver provato a costruire i vari $A_1B_1C_1$ attraverso il fatto che l'angolo $\angle KHO$ è quello di similitudine, ho constatato che al variare di $K$ i punti $A_1B_1C_1$ non davano sempre luogo a un triangolo simile con $ABC$; allora, pensando di aver sbagliato la costruzione, ho provato a vedere se $Y$ fosse effettivamente il centro di similitudine tra $ABC$ e l'immagine di $PQR$. Facendo questo con Geogebra, ovvero trovandomi l'immagine di $PQR$ ($P'Q'R'$), ho trovato il centro di similitudine tra $ABC$ e l'immagine di $P'Q'R'$ secondo la costruzione standard del centro di una rotomotetia tra due figure simili. Il problema è che tale punto non coincide con $Y$. Qualcuno potrebbe fare luce su queste cose?
Grazie in anticipo.

sg_gamma
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Re: Dubbio su G8

Messaggio da sg_gamma » 14 lug 2018, 14:53

La cosa in effetti è strana; il triangolo $P_1Q_1R_1$ preso in considerazione ha $Y$ come centro di similitudine per ipotesi...
Ma d'altra parte la costruzione del centro di similitudine stessa mi fa sorgere qualche dubbio: viene asserito nel problema che $X$ e $Y$ appartengono all'orthocentroidal circle e che uno dei due punti deve necessariamente essere il centro di similitudine tra $DEF$ e $ABC$ in quanto intersezioni delle circoscritte ai due triangoli; seguendo però la costruzione che nel triangolo del lemma portava a individuare $K$, questo non risulta essere nessuno dei due punti in questione.

EDIT: a tal proposito reinserisco qui i dubbi che il problema mi ha fatto sorgere. ""Se due triangoli sono prospettici e ordinatamente simili, il loro centro di similitudine deve appartenere a entrambe le circoscritte ai due triangoli": nel G8 viene presentato come fatto noto, ma dove posso (quantomeno se serve) trovarne una dimostrazione?. Ma soprattutto, se ho ben capito la definizione, il triangolo mediale è prospettico rispetto al baricentro comune (le rette congiungenti i vertici simili si intersecano in tal punto) e ovviamente simile rispetto a quello iniziale ma, se il triangolo iniziale non è ottusangolo, è facile verificare anche in GeoGebra che le circoscritte non si intersecano in nessun punto: non significa mica che il centro di similitudine non esiste in quel caso? Mi parrebbe alquanto strano."

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Lasker
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Re: Dubbio su G8

Messaggio da Lasker » 15 lug 2018, 01:17

Prova a dimostrare quel lemma in complessi imponendo che i due triangoli siano prospettici e ordinatamente simili e dovrebbero saltarti fuori da sole le eccezioni facendo il conticino (tra cui il tuo controesempio).
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