#di S_n

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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#di S_n

Messaggio da jordan » 05 gen 2008, 10:55

Sia $ S_n $:={$ (x,y) $ t.c. $ x^2+xy+y^2=n $}, con $ x,y \in Z $ e $ n\in N_0 $.

Dimostrare che #$ (S_n) \equiv 0 \pmod 6 \forall n \in N_0 $
Ultima modifica di jordan il 05 gen 2008, 14:27, modificato 2 volte in totale.
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Alex89
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Messaggio da Alex89 » 05 gen 2008, 11:58

Scusate non ho capito bene il testo :oops: ; potreste spiegarmi meglio il problema?

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 05 gen 2008, 19:11

Per Alex89, se fosse ancora in difficoltà:
Fissato un certo n intero, sia S_n l'insieme delle soluzioni intere dell'equazione che sta scritta là... dimostrare che questo insieme di soluzioni ha cardinalità sempre divisibile per 6 (per dirla più facile: il numero delle soluzioni (x,y) è multiplo di 6)
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angus89
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Messaggio da angus89 » 05 gen 2008, 19:27

comunque forse sarebbe stato più appropriato in tdn...
Sembra difficile...Magari ci ragiono un pò ma a prima vista non credo di esser in grado di risolverlo
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

Alex89
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Messaggio da Alex89 » 05 gen 2008, 20:28

Un ultima domanda: Le coppie sono ordinate o meno? Ossia, (x,y)=(y,x)?

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Russell
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Messaggio da Russell » 05 gen 2008, 20:52

La notazione $ \left( x,y \right) $ indica sempre una coppia ordinata, salvo diverse specificazioni.

Curiosità: una coppia ordinata può essere definita, se non vogliamo somministrarla assiomaticamente, mediante $ \left( x,y \right):=\left\{ \left\{x \right\}, \left\{x,y \right\} \right\} \ \ \ \ $ (by von Neumann, mi sembra).
Ovviamente si deducono tutte le proprietà che si richiedono ad una coppia ordinata.

Buon lavoro per la risoluzione del problema postato da jordan, che credo al di fuori della mia portata!
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell

Alex89
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Messaggio da Alex89 » 05 gen 2008, 21:57

Se $ (x,y) $ appartiene ad $ S_n $ allora vi apparterranno anche

1)$ (-x,x+y) $
2)$ (-y,x+y) $
3)$ (-x,-y) $
4)$ (x,-x-y) $
5)$ (y,-x-y) $.

Queste 6 soluzioni posso definirle come un "circolo chiuso", ossia se una a caso di queste appartiene ad $ S_n $ allora vi apparterranno tutte e 6 (provare x credere).
Ovviamente una soluzione appartiene ad un solo circolo chiuso (o per meglio dire da ogni soluzione deriva un solo circolo chiuso). Da cui la tesi.

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jordan
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Messaggio da jordan » 06 gen 2008, 01:52

hai considerato che se $ (x,y)\in S $allora$ (y,x)\in S $?..

e poi..chi ti dice che siano distinte?
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