potenze di 4 per un quadrato

[salva90]

EDIT: cazzata, se n'era già accorto, sorry

[jordan]

Sia wlog $ x \ge y $
$ 4^{y-1}(4^{x-y}+1)=k(k+1) $

Da cui
$ 4^{y-1}=k $
$ (4^{x-y}+1)=k+1 $

ti sembra tanto lecito quello che hai scritto?

in piu alla soluzione ci manca un $ +k $

[Febo]

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAARGH

Non si capisce piu' molto di questo topic.

Per adesso la domanda a cui rispondere (e a cui non e' ancora stato risposto) e':

per quali x,y,z interi non negativi si ha che $ 4^x+4^y+4^z $ e' un quadrato perfetto?

Se cosi' non e' correggetemi, se cosi' e' ditemelo che provo a cercare una soluzione, se non e' nessuno dei due casi, suicidatevi perche' la fine del mondo e' vicina...

ciaociao

[angus89]

Allora...
Vediamo se riesco a sistemare tutto...
Allora...consiglio a tutti di vedere il mio primo post con la mia prima soluzione sbagliata, dove dimostravo che non esistevano soluzioni intere...
Il mio errore era nel supporre sempre divisibile per 4 la parte destra dell'equazione, ovvero$ \dispaystyle 4^x+4^y+4^z $.
Bene ciò non è possibile, dato che si giunge al punto che almeno uno dei valori tra $ \dispaystyle 4^x 4^y 4^z $ diventa uno.
Pertanto immaginiamo di fare quello che dico nella dimostrazione fino a ridurre le terne,sottraendo sempre lo stesso valore alle variabili; nella forma

$ \dispaystyle (0,0,0) $ che non è soluzione
$ \dispalystyle \\(0,x_1,y_1)\\ (0,x_1,x_1)\\ (0,0,x_1)\\ $

Pertanto trovata una terna possiamo ricavarne infinite in base alla prima parte (corretta) della dimostrazione.
A questo punto dobbiamo trovare almeno una terna.

Cominciamo con la terna $ \dispalystyle (0,x_1,y_1) $
Sostituiamo i valori e otteniamo

$ \\ 4^{x_1} + 4^{y_1} + 1 = n^2\\ 4^{x_1} + 4^{y_1} = n^2 -1\\ 4^{x_1} + 4^{y_1} = (n+1) \cdot (n -1)\\ $
Pertanto come aveva suggerito jordan
$ n^2-1\equiv 0 \pmod 4 $
pertanto
$ n\equiv 1 \pmod 4 $
$ n\equiv -1 \pmod 4 $
Quindi questo ci dà informazioni sull'eventuale quadrato,
infatti in base ai risultati postati succede proprio questo, ad esempio
$ 3\equiv -1 \pmod 4 $

Bene, lo stesso ragionamento si fà con la terna $ \dispaystyle (0,x_1,x_1) $

$ \\ 4^{x_1} + 4^{x_1} + 1 = n^2\\ 2 \cdot 4^{x_1} = n^2 -1\\ 2 \cdot 4^{x_1} = (n+1) \cdot (n -1)\\ $

$ n^2-1\equiv 0 \pmod 4 $
pertanto
$ n\equiv 1 \pmod 4 $
$ n\equiv -1 \pmod 4 $

che sono le stesse conclusioni.

Diverso è per le terne che hanno la forma $ \dispaystyle (0,0,x_1) $
Dato che riscrivendo tutto

$ \\ 4^{x_1} + 1 + 1 = n^2\\ 4^{x_1} = n^2 -2\\ 4^{x_1} = (n+\sqrt{2}) \cdot (n -\sqrt{2})\\ $
Pertanto l'ultima forma mostra che n è irrazionle per queste terne.

Pertanto la conclusione di ciò è che le terne che soddisfano l'equazione sono quelle nella forma
$ \displaystyle\\ (0,x_1,y_1)\\ (0,x_1,x_1)\\ $

E dove
$ n\equiv 1 \pmod 4 $
$ n\equiv -1 \pmod 4 $

A questo punto mi blocco e le terne riesco a scriverle solo a tentativi...
logico che se ne trovo una, per la prima parte della mia dimostrazione posso trovarne infinite che derivano da quella, però parlo di terne primitive...
Esiste a questo puno un metodo per trovare le altre?

[francesco90]

Allora...
$ \\ 4^{x_1} + 1 + 1 = n^2\\ 4^{x_1} = n^2 -2\\ 4^{x_1} = (n+\sqrt{2}) \cdot (n -\sqrt{2})\\ $
Pertanto l'ultima forma mostra che n è irrazionle per queste terne.

allora: che non ci sono valori di $ n $ che soddisfano quell'equazione è vero, ma per un altro motivo. Infatti se $ n $ è intero, $ (n+\sqrt{2}) \cdot (n -\sqrt{2})\\ $ è prdotto di 2 numeri irrazionali ma non è detto che il prodotto di 2 irrazionali non sia intero... la ragione vera è questa:
$ n=2k $ allora $ n^2=4k^2 $ cioè$ n^2\equiv 0 \pmod 4 $
invece se
$ n=2k+1 $ allora $ n^2=4k^2+4k+1 $ cioè $ n^2\equiv 1 \pmod 4 $
mentre $ 4^{x_1}+ 1+ 1 \equiv 2 \pmod 4 $

[angus89]

va bè...comunque cerchiamo di capire piuttosto come ricavare le terne primitive...ora l'obbiettivo è quello...

Più vado avanti e più mi rendo conto che il problema andava messo in tdn...

[angus89]

comunque per ora il metodo per trovare le terne è quello di Alex89...
anche se jordan dice che non è considerato un caso...va bè...
Aspetto con ansia la soluzione

[angus89]

Bè mi sembra oppurtuno a questo punto postare la soluzione...
Bè ecco...il problema era già stato postato e io non me ne sono accorto...
Bè me l'ha fatto notare jordan...
Comunque eravano sulla buona strada...
soluzione