succesione - n^2

[EvaristeG]

Ehm, comunque è buona norma aprire nuovi thread per nuovi problemi... ora, spezzare adesso non mi sembra il caso, visto che è stato un botta e risposta abbastanza rapido, però tenetelo presente per il futuro.

[emarmotto]

Sono nuovo, e mentre litigo con il LaTeX posto un metodo alternativo.
Dato
$ a_{n+1}=2a_n-n^2 $
avremo che :
$ a_{n+2}=2a_{n+1}-(n+1)^2 $
$ a_{n+2}=2(2a_n-n^2)-(n+1)^2 $
$ a_{n+2}=4a_n-2n^2-(n+1)^2 $
e proseguendo ...
$ a_{n+3}=2a_{n+2}-(n+2)^2 $
$ a_{n+3}=2(4a_n-2n^2-(n+1)^2)-(n+2)^2 $
$ a_{n+3}=8a_n-4n^2-2(n+1)^2-(n+2)^2 $
Si ricava che :
$ a_{n+k}=2^{k}a_n- \sum_{i=0}^{k}\ {2^{(k-i+)}}{(n+i)^2} $
Ponendo n=0 si ottiene :
$ a_{k}=2^{k}a_0- \sum_{i=0}^{k}\ {2^{(k-i-1)}}{i^2} $
Considerato che
$ a_{k}>=0 $ anche
$ 2^{k}a_0-\sum_{i=0}^{k}\ {2^{(k-i-1)}}{i^2}>=0 $
Da cui
$ a_0 >=\sum_{i=0}^{k}\ {2^{(k-i-1-k)}}{i^2} $
$ a_0 >=\sum_{i=0}^{k}\ {2^{(-i-1)}}{i^2} $
$ a_0 >=\sum_{i=0}^{k}\ {\frac {i^2}{2^{i+1}} $
Calcolando il limite per k tendente ad infinito della sommatoria si ricava che :
$ a_0>=3 $

P.S. Riuscirò prima o poi a trovare i comandi giusti......

[EvaristeG]

Hmm sì, mi sembra abbastanza simile a quello che ho fatto io...

[Jonny Tendenza]

Bah, io ho usato metodi più "artigianali"...

Allora, prendo $ ~a_{n-1}=2a_{n-2}-(n-2)^2 $ e sostituisco in $ ~a_n=2a_{n-1}-(n-1)^2 $, troverò:

$ \displaystyle a_n=4a_{n-2}-2(n-2)^2-(n-1)^2 $

Poi prendo $ ~a_{n-2}=2a_{n-3}-(n-3)^2 $ e la sostituisco nella precedente, ottengo:

$ \displaystyle a_n=8a_{n-3}-4(n-3)^2-2(n-2)^2-(n-1)^2 $

Iterando questo procedimento $ ~k-1 $ volte arriverò a:

$ \displaystyle a_n=2^{k}a_{n-k}-\sum_{i=1}^{k}2^{i-1}(n-i)^2 $

Sapendo che:

$ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}2^{i-1}(n-i)^2 = 2^k[k^2-2k(n+1)]+(2^k-1)(n^2+2n+3) $

Sviluppando, possiamo passare alla forma semplificata:

$ \displaystyle a_n=2^{k}a_{n-k}-2^k[k^2-2k(n+1)+n^2+2n+3]+n^2+2n+3 $

Dobbiamo cercare di esprimere $ ~RHS $ in modo che ci sia solo $ ~a_0 $ e $ ~n $
A tal proposito poniamo $ ~k=n $:

$ \displaystyle a_n =2^n a_0-3 \cdot 2^n+n^2+2n+3 $

Questa è la formula analitica che esprime $ ~a_n $ in funzione di $ ~n $.
Chiamiamo questa funzione $ ~f(n) $: noi dobbiamo vedere se $ ~ \forall n \in \mathbb{N}, f(n) \geq 0 $ per una certa scelta di $ ~a_0 $.
Dato che deve essere $ ~\forall k \in \mathbb{N},a_k \geq 0 $, allora anche $ ~a_0 \geq 0 $, restringiamo quindi il campo di ricerca ai valori positivi o nulli.
Rielaboriamo la formula analitica precedente e vediamo di studiarcela un pochino:

$ \displaystyle a_n =2^n(a_0-3)+n^2+2n+3 $

Osserviamo che se poniamo $ ~a_0=0 $ ci riduciamo a:

$ \displaystyle a_n =n^2+2n+3-3\cdot 2^n $

So che:

$ \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2+2n+3-3\cdot 2^n=-\infty $

Infatti, per $ ~n>1 $, la funzione schizza a meno infinito, perchè $ ~-3\cdot2^n $ è maggiore, in quell'intorno di più infinito, in valore assoluto, di $ ~n^2+2n+3 $.
Esaminiamo quindi $ ~a_0 $ solo nei positivi.
Posso dividere la $ ~f(n) $, la nostra formula analitica, in due. Riprendiamo la $ ~f(n) $:

$ \displaymath a_n =2^n(a_0-3)+n^2+2n+3 $

E prendiamone un pezzo:

$ \displaystyle f_1(n)=n^2+2n+3 $

Dato che sappiamo essere tale funzione quella di una parabola con la concavità verso l'alto e
$ ~ \Delta <0 $, sappiamo anche che sarà positiva non nulla $ ~ \forall n \in \mathbb {N} $. Inoltre, nei valori positivi è monotona crescente e divergente a $ ~+\infty $.
L'altro pezzo:

$ \displaystyle f_2(n)=2^n(a_0-3) $

è variabile al variare di $ ~a_0 $, ma è pur sempre una specie di esponenziale, che ha però vari casi:

a) Per $ ~0 < a_0 < 3 $ è un esponenziale sempre negativo, monotona decrescente e divergente a $ ~-\infty $
b) Per $ ~a_0 = 3 $ si annulla e vale sempre zero
c) Per $ ~a_0 > 3 $ è un esponenziale sempre positivo, monotona crescente e divergente a $ ~+\infty $

Si desume quindi che per $ ~a_0 = 3 $, essendo nulla questa, ma non la componente precedente (che non si annulla mai), la funzione totale sarà sempre positiva non nulla. Ciò implica che tutti i termini della successione sono positivi non nulli, ed essendo $ ~f_1(n) $ crescente e divergente a $ ~+\infty $, anche la successione $ ~a_k $ è crescente e divergente a $ ~+\infty $.

Per $ ~a_0 > 3 $, essendo $ ~f_2(n) $ positiva non nulla, crescente e divergente a $ ~+\infty $, così come $ ~f_1(n) $, pure la funzione totale è positiva non nulla, crescente e divergente a $ ~+\infty $, così come la successione.

Ci rimane da esaminare l'ultimo intervallo: $ ~0 < a_0 < 3 $
In questo intervallo di $ ~a_0 $ risulta:

$ \displaystyle \lim_{n\rightarrow -\infty} n^2+2n+3+(a_0-3)\cdot 2^n=+\infty $

Infatti:

$ \displaystyle \lim_{n\rightarrow -\infty} f_1(n)=+\infty $

mentre:

$ \displaystyle \lim_{n\rightarrow -\infty} f_2(n)=0 $

quindi:

$ \displaystyle \lim_{n\rightarrow -\infty} [f_1(n)+f_2(n)]=\lim_{n\rightarrow -\infty} f_1(n)+\lim_{n\rightarrow -\infty} f_2(n)=+\infty $

Per $ ~n=0 $ la funzione vale naturalmente $ ~a_0 $, che è maggiore di 0. Nel semiasse negativo delle ascisse la $ ~f(n) $ è positiva perchè $ ~f_1(n)>|f_2(n)| $ per $ ~n $ negativo. Se la $ ~f(n) $ diventa negativa, lo deve fare per forza intersecando l'asse delle ascisse nel semiasse positivo. Questo perchè è una funzione continua. Questo accade se $ ~f_1(n) $ e $ ~|f_2(n)| $ presentano una o più intersezioni per $ ~n>0 $. In particolare, se abbiamo un numero di intersezioni pari, la funzione andrà sotto per qualche tratto, ma poi tenderà a più infinito. Se il numero di intersezioni è dispari, la funzione tenderà a $ ~-\infty $. Nel caso $ ~a_0=0 $, già trattato in precedenza, le due curve presentano tre intersezioni nei positivi: come da programma, per $ ~n>0 $ la funzione tenderà a $ ~-\infty $. Si vede che nell'intervallo $ ~0 < a_0 < 3 $ le due curve si intersecano in un solo punto, quindi la funzione e la successione tenderanno a $ ~-\infty $ al tendere di $ ~n $ a $ ~+\infty $.

In conclusione, quindi, per rispettare le condizioni imposte, $ ~a_0 $ deve appartenere a $ ~[3;+\infty[ $

Boh, speriamo vada bene...

Ciao!