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trovare il minimo di $ a^2+b^2 $ se il polinomio $ x^4+ax^3+bx^2+ax+1 $ ha soluzioni reali.

4/5

ci avrei messo la mano sul fuoco che sareti stato tu a ripondere
adesso pero posti anche una mezza dimostrazione ok?

Felice di aver salavato la tua mano da una brutta fine...

...ma niente dimostrazione: non voglio mica togliervi tutto il divertimento!

Vediamo(sperando di non fare errori di calcolo):

x=0 non è soluzione e, quindi posso dividere il tutto per x^2 ottenendo:

$ x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2} = 0 $

$ (x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b = 0 $

Dopodiché pongo $ w = x+1/x $ sapendo che
$ x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2 $ ottengo:

$ w^2+aw+b-2=0 $ cioè
$ w = \displaystyle \frac{-a [piu'-o-meno] (a^2-4b+8)^{1/2}}{2} $

Il delta deve essere nonnegativo e quindi mi studio questa funzioncina a due variabili $ f(a,b)=a^2-4b+8 $ lungo il luogo degli zeri trovo il minimo.

Ho scritto 'piu' o meno' a lettere perché non so come si fa col tex

Noto che posso supporre a>=0, perchè se (a,b) è una coppia minima, (-a,b) è ancora una coppia minima e basta cambiare di segno le soluzioni (che dunque restano reali)
Ragiono poi come mistergiovax, e arrivo (con tanti conti) a vedere che le soluzioni hanno sotto radice le quantità $ (\pm a + \sqrt{8+a^2-4b})^2 - 16 $. Ne viene: $ |\pm a + \sqrt{8+a^2-4b}| \geq 4 \Rightarrow a + \sqrt{8+a^2-4b} \geq 4 $. Risolvendo la disequazione trovo o $ a \geq 4 $ o $ 2a-b \geq 2 \Rightarrow a \geq b/2+1 $.
Sostituendo nella relazione da minimizzare, $ a^2+b^2 \geq b^2+(\frac{b}{2}+1)^2 =5/4b^2+b+1 $ che rispetto a b è una parabola, con minimo in b=-2/5
In effetti $ b=-\frac{2}{5}, a=\frac{4}{5} $ ha soluzioni reali (per essere precisi, -1 come radice doppia), e a questa coppia corrisponde $ a^2+b^2=\frac{4}{5} $.

ok a tutti, bravi..
eppure esiste una meno contosa..chauchy ci vuole provare qualcuno?

Jordan ha detto:
ok a tutti, bravi..
eppure esiste una meno contosa..chauchy ci vuole provare qualcuno?

Cauchy... sembra facile, Cauchy è ovunque in matematica!!!